Aufgabe 4024
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weinbau - Aufgabe B_413
Teil e
Der Wein wird mit einem manuellen Reihenfüller in Flaschen abgefüllt. Das Füllvolumen der Flaschen kann dabei als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1 005 Milliliter (ml) und der Standardabweichung σ = 5 ml angenommen werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem 95 % der Füllvolumina liegen.
[1 Punkt]
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion dieser Normalverteilung dargestellt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche ein Füllvolumen von mindestens 1 000 ml hat.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir kennen folgende Angaben: Es liegt also eine Normalverteilung vor. Bei um den Erwartungswert symmetrischen Intervallen gilt gemäß Angabe folgender Zusammenhang:
\(\eqalign{ & \mu = 1005 \cr & \sigma = 5 \cr & Fläche = 95\% \cr} \)
Überlegungen bezüglich der Flächen
- 95% → 0,95 zwischen der unteren und der oberen Grenze
- 2,5% → 0,025 für die Fläche links von der unteren Grenze
- 2,5% → 0,025 für die Fläche rechts von der oberen Grenze, bzw. 0,95+0,025=0,975 liegen links von der oberen Grenze
1. untere Grenze:
\(\eqalign{ & \mu = 1005 \cr & \sigma = 5 \cr & Fläche = 0,025 \cr} \)
Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[1005, 5, 0.025] ⇒ x1 = 995,25
2. obere Grenze
\(\eqalign{ & \mu = 1005 \cr & \sigma = 5 \cr & Fläche = 0,975 \cr} \)
Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[1005, 5, 0.975] ⇒ x2 = 1014,75
Lösung: Ermittlung des symmetrischen Intervalls mittels Technologieeinsatz: [995,2; 1 014,8]
2. Teilaufgabe
Die Fläche unter der gaussschen Glockenkurve die rechts von 1 000 ml liegt, entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche mindestens ein Füllvolumen von 1 000 ml hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Das symmetrische Intervall lautet: [995,2; 1014,8]
2. Teilaufgabe
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: Für das richtige Ermitteln des Intervalls (KA)
2. Teilaufgabe
1 × A: Für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit (KA)