Aufgabe 4013
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgaben
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Bodensee - Aufgabe A_253
Teil a
Der Bodensee misst in seiner längsten Ausdehnung von Bregenz (Br) bis Bodman (Bo) 66 Kilometer (km). Aufgrund der Erdkrümmung ist von Bregenz aus das Seeufer bei Bodman nicht zu sehen (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze):
mit
r | Erdradius (6 371 km) |
b | Bogenlänge, entspricht der Entfernung zwischen Bregenz und Bodman |
M | Erdmittelpunkt |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Winkel φ.
[1 Punkt]
Um bei sehr guten Sichtverhältnissen von Bregenz aus das Seeufer bei Bodman sehen zu können, muss sich ein Beobachter in Bregenz mindestens auf einer Höhe h über dem Seeniveau befinden (siehe obige nicht maßstabgetreue Skizze).
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe h.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir kennen r=6 371 km und b=66 km
Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich wie folgt:
\(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \varphi }}{{180}}\)
wir setzen in die Formel ein und erhalten somit:
\(\eqalign{ & 66 = 6\,371 \cdot \dfrac{{\pi \cdot \varphi }}{{180}} \cr & \varphi = \dfrac{{66 \cdot 180}}{{6\,371 \cdot \pi }} = 0,593^\circ \cr} \)
Der Winkel beträgt: \(\varphi = 0,593^\circ \)
2. Teilaufgabe
Das rechtwinkelige Dreieck wird besser erkennbar, wenn wir die Seeoberfläche kurz mal ausblenden:
Wir kennen den Winkel \(\varphi\) und die Ankathete r. Die Hypotenuse r+h beinhaltet den bekannten Radius und die gesuchte Höhe h:
Zur Lösung bietet sich daher der Zusammenhang über den Kosinus an:
\(\eqalign{ & \cos \varphi = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypothenuse}}}} \cr & \cr & \cos \left( {0,593} \right) = \dfrac{r}{{r + h}} \cr & r + h = \dfrac{r}{{\cos \left( {0,593} \right)}} \cr & h = \dfrac{r}{{\cos \left( {0,593} \right)}} - r \cr & h = \dfrac{{6\,371}}{{\cos \left( {0,593} \right)}} - 6\,371 = 0,3419 \cr} \)
Die Höhe, auf der sich ein Beobachter befinden müsste, beträgt rund 0,342 km bzw 342 Meter.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Winkel beträgt: \(\varphi = 0,593^\circ \)
2. Teilaufgabe
Die Höhe, auf der sich ein Beobachter befinden müsste, beträgt rund 0,342 km bzw 342 Meter.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B1: Für die richtige Berechnung des Winkels \(\varphi \) (KA)
Auch eine Berechnung des Winkels im Bogenmaß ist als richtig zu werten.
2. Teilaufgabe
1 × B2: Für die richtige Berechnung der Hohe h (KB)