Aufgabe 1095
AHS - 1_095 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fläche zwischen zwei Kurven
Die Funktionsgraphen von f und g schließen ein gemeinsames Flächenstück ein.
- Aussage 1: \(\int\limits_{ - 1}^6 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} \,\,dx\)
- Aussage 2: \(\int\limits_{ - 1}^6 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_5^6 {g\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_{ - 1}^5 {g\left( x \right)\,\,dx} } } \)
- Aussage 4: \(\left| {\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)\,\,dx} } \right| + \left| {\int\limits_{ - 1}^6 {g\left( x \right)\,\,dx} } \right|\)
- Aussage 5: \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)} \,\,dx - \int\limits_5^6 {g\left( x \right)\,\,dx + \left| {\int\limits_{ - 1}^5 {g\left( x \right)\,\,dx} } \right|}\)
Aufgabenstellung:
Mit welchen der nachstehenden Berechnungsvorschriften kann man den Flächeninhalt des gekennzeichneten Flächenstücks ermitteln? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Berechnungsvorschriften an!
Lösungsweg
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen 2 Graphen
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,\,dx = } } \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} \)
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden, kann aus der Differenz der jeweiligen Flächeninhalte zwischen dem zugehörigem Graphen und der x-Achse berechnet werden.
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil man die Differenz der oberen f(x) und der unteren g(x) Funktion bilden muss und nicht umgekehrt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil man hier die Differenz der oberen f(x) und der unteren g(x) Funktion bildet.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil der 1. Summand ist richtig, aber der 2. Summand müsste abgezogen und nicht addiert werden, wohingegen der 3. Summand samt dem Minus davor wieder richtig ist..
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil der 2. Summand falsch ist.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, wie durch nachfolgende Illustrationen veranschaulicht wird:
- 1. Term: \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- 2. Term wird vom 1. Term abgezogen: \( - \int\limits_5^6 {g\left( x \right)\,\,dx} \)
- plus 3. Term: \({\left| {\int\limits_{ - 1}^5 {g\left( x \right)\,\,dx} } \right|}\) der Betrag ist erforderlich, da das bestimmte Integral für sich genommen eine negative Fläche liefert, die Fläche aber addiert werden soll.
- 1. Term: \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.