Aufgabe 1005
AHS - 1_005 & Lehrstoff: AN 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum
Wachstum tritt in der Natur fast nie unbegrenzt auf, es erreicht einmal eine gewisse Grenze (Sättigung). Diese Sättigungsgrenze sei K. Der vorhandene Bestand zum Zeitpunkt n sei xn. Zur Beschreibung vieler Vorgänge (Wachstum von Populationen, Ausbreitung von Krankheiten oder Informationen, Erwärmung etc.) verwendet man folgendes mathematisches Modell:
\({x_{n + 1}} - {x_n} = r \cdot \left( {K - {x_n}} \right){\text{ mit }}r \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\,0 < r < 1\)
r ist ein Proportionalitätsfaktor
- Aussage 1: Diese Gleichung kann als eine lineare Differenzengleichung der Form \({x_{n + 1}} = a \cdot {x_n} + b\) gedeutet werden.
- Aussage 2: Der Zuwachs pro Zeiteinheit ist proportional zum momentanen Bestand.
- Aussage 3: Es liegt ein kontinuierliches Wachstumsmodell vor, d. h., man kann zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Größe des Bestands errechnen.
- Aussage 4: Der Zuwachs bei diesem Wachstum ist proportional zur noch verfügbaren Restkapazität (= Freiraum).
- Aussage 5: Mit zunehmender Zeit wird der Zuwachs immer geringer.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die auf dieses Modell zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Wir erinnern uns:
- Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
- Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- Wird die (abhängige) Differenz noch zusätzlich auf einen (unabhängigen) Wert "bezogen", so führt uns dies zum Differenzenquotienten: \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)
- Konvergiert das diskrete Intervall im Zähler vom Differenzenquotienten gegen null so erhält man den Differentialquotienten gemäß: \(\dfrac{{dy}}{{\operatorname{dx} }} = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \dfrac{{y\left( {{x_1}} \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}} = f'\left( {{x_0}} \right)\)
Mit diesem Wissen geht es nun an die Bewertung der Aussagen:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil man wie folgt zeigen kann:
\(\eqalign{ & {x_{n + 1}} - {x_n} = r \cdot \left( {K - {x_n}} \right) \cr & {x_{n + 1}} = r \cdot K - r \cdot {x_n} + {x_n} \cr & {x_{n + 1}} = \left( {1 - r} \right) \cdot {x_n} + r \cdot k \cr} \)
wobei:
\(\eqalign{ & a = \left( {1 - r} \right) \cr & b = r \cdot k \cr} \) - Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil
- die linke Seite der Gleichung, mit \({x_{n + 1}} - {x_n}\) genau dem Zuwachs entspricht (späterer minus früherer Bestand),
- die rechte Seite wegen \(K - {x_n}\) nicht proportional dem momentanen Bestand xn ist. Proportionalität würde vorliegen bei \({x_{n + 1}} - {x_n} = r \cdot \left( {{x_n}} \right)\), dann wäre r der Proportionalitätsfaktor.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil zwischen xn+1 und xn immer ein diskretes Intervall (1 Minute, 1 Stunde, 1 Tag, 1 Jahr,..) liegt. Anders gesagt: Auf xn folgt xn+1 aber ein dazwischen liegendes xn+0,5 gibt es nicht.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil die Restkapazität - die auch als Freiraum bezeichnet wird - beträgt \(\left( {K - {x_n}} \right)\)
- Auf der linken Seite der Gleichung steht der Zuwachs
- Auf der rechten Seite der Gleichung steht r „mal“ Restkapazität.
- → Somit liegt Proportionalität vor, mit r als Proportionaltiätsfaktor
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil bei Funktionen, die einer Sättigung zustreben, das Wachstum degressiv ist, also die Geschwindigkeit des Wachstums mit der Zeit abnimmt und letztlich null wird. Vergleichbare (allerdings kontinuierliche und nicht diskrete) Funktionen modelliert man mit \({e^{ - \lambda \cdot t}}\) und bezeichnet man als Logarithmusfunktionen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.