Aufgabe 1003
AHS - 1_003 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzenquotient
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit einer Sekante.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck _____1______ beschreibt _______2_________ .
1 | |
\(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) | A |
\(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) | B |
\(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}}\) | C |
2 | |
die Steigung von f an der Stelle x | I |
die 1. Ableitung der Funktion f | II |
die mittlere Änderungsrate im Intervall \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) | III |
Lösungsweg
Die Formel für den Differenzenquotienten kennen wir zu:
\({k_{{\text{Sekante}}}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)
[svg:formel_0001_1.svg]
Anmerkung: In der Angabe wird nicht \(\vartriangle x\) sondern h verwendet, was aber nur eine andere Bezeichnung für den den zusätzlichen Abstand auf der x-Achse zwischen dem 1. Punkt und dem 2. Punkt ist.
Aus der Definition vom Differenzenquotienten wissen wir:
Der Ausdruck \(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\)→ B beschreibt die mittlere Änderungsrate im Intervall \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) → III
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Ausdruck \(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) beschreibt die mittlere Änderungsrate im Intervall \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.