Aufgabe 3095
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best of Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bremsvorgänge – 2124. Aufgabe 2_124
Durch das Einwirken einer Bremskraft und der damit verbundenen negativen Beschleunigung verringert sich die Geschwindigkeit eines fahrenden Fahrzeugs.
Teil b
Ein Fahrzeug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s. Zum Zeitpunkt t = 0 sieht der Fahrzeuglenker ein Hindernis auf der Straße.
Es gilt:
- Der Fahrzeuglenker benötigt eine bestimmte Zeit, um zu reagieren. Während dieser Zeit fährt das Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s weiter.
- Der Bremsvorgang beginnt zum Zeitpunkt t1 mit einer konstanten Bremsverzögerung (negative Beschleunigung).
- Zum Zeitpunkt t2 kommt das Fahrzeug zum Stillstand.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm den Geschwindigkeitsverlauf für den beschriebenen Vorgang ein.
Abbildung fehlt
- t in s, v1(t) in m/s).
[0 / 1 P.]
Der Weg, den das Fahrzeug im Zeitintervall [0; t2] zurücklegt, wird Anhalteweg sA genannt (sA in m).
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie unter Verwendung von t1 und t2 eine Formel zur Berechnung von sA auf.
sA =
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Zeit von t0 bis t1 bezeichnet man als Reaktionszeit. Dem Fahrer muss erst bewusst werden, dass er bremsen muss und die zugehörige Beinbewegung zum Betätigen der Bremse muss initialisiert werden. Während dieser Reaktionszeit fährt das Fahrzeit mit der konstanten Anfangsgeschwindigkeit weiter. Während der Reaktionszeit legt das Fahrzeug den Reaktionsweg zurück.
Erst danach, also zum Zeitpunkt t1 wird gebremst. Von nun an legt das Fahrzeug den Bremsweg zurück, bis es zum Zeitpunkt t2 zum Stillstand kommt.
Die Summe aus Reaktions- und Bremsweg nennt man Anhalteweg
Abbildung fehlt
2. Teilaufgabe
Wie wir schon bei Teil a gesehen haben, gilt:
- Die Weg-Zeitfunktion liefert den Zusammenhang zwischen dem Bremsweg und der zeitabhängigen Fahrgeschwindigkeit wie folgt:
\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,\,dt\) - Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion
Diesmal setzt sich die Fläche aus einem Rechteck und einem rechtwinkeligen Dreieck wie folgt zusammen:
\(\eqalign{ & A = {s_A} = {A_{{\text{Rechteck}}}} + {A_{{\text{rechtw}}{\text{. Dreieck}}}} = \cr & = \left( {25 \cdot {t_1}} \right) + \left( {25 \cdot \dfrac{{{t_2} - {t_1}}}{2}} \right) = \cr & {s_A} = 25 \cdot {t_1} + 12,5 \cdot \left( {{t_2} - {t_1}} \right) \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Abbildung fehlt
2. Teilaufgabe
\({s_A} = 25 \cdot {t_1} + 12,5 \cdot \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Geschwindigkeitsverlaufs, wobei der Übergang zwischen den beiden linearen Funktionen im Punkt (t1|25) klar erkennbar sein muss.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.