Aufgabe 3094
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best of Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bremsvorgänge – 2124. Aufgabe 2_124
Durch das Einwirken einer Bremskraft und der damit verbundenen negativen Beschleunigung verringert sich die Geschwindigkeit eines fahrenden Fahrzeugs.
Teil a
Ein bestimmtes Fahrzeug wird durch eine Vollbremsung bis zum Stillstand abgebremst. Der Weg, den ein Fahrzeug während der Vollbremsung zurücklegt, wird als Bremsweg bezeichnet. In der nachstehenden Abbildung ist das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm für eine 5 s dauernde Vollbremsung dargestellt.
Abbildung fehlt
Für die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v gilt:
\(v\left( t \right) = - 4 \cdot t + 20{\text{ mit }}t \in \left[ {0;5} \right]\)
- t ... Zeit in s
- v(t) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie die Koeffizienten –4 und 20 aus der obigen Funktionsgleichung von v im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / ½ / 1 P.]
Die Länge des Bremswegs des Fahrzeugs bei dieser Vollbremsung wird mit sB bezeichnet. Wird die Anfangsgeschwindigkeit halbiert, so beträgt bei gleichbleibender negativer Beschleunigung die Länge des Bremswegs
\(k \cdot {s_B}{\text{ mit }}k \in {\Bbb R}\)
\(v\left( t \right) = - 4 \cdot t + 20{\text{ mit }}t \in \left[ {0;5} \right]\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie k.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(v\left( t \right) = - 4 \cdot t + 20\)
- -4 entspricht der (negativen) Steigung der Geradengleichung.
In diesem Fall bedeutet der Wert, dass die Geschwindigkeit um 4m/s abnimmt. - 20 entspricht dem Achsenabschnitt der Geradengleichung.
In diesem Fall bedeutet der Wert, dass die Anfangsgeschwindigkeit, unmittelbar bevor die Bremsung eingeleitet wurde, 20 m/s betrug.
2. Teilaufgabe:
Die Weg-Zeitfunktion liefert den Zusammenhang zwischen dem Bremsweg und der zeitabhängigen Fahrgeschwindigkeit wie folgt:
\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,\,dt\)
Abbildung fehlt
Das Integral interpretieren wir wie folgt: Der Bremsweg SB entspricht also der Fläche zwischen der Funktion v(t), also der Geraden und der x-Achse. Wir können diese Fläche einfach und kompliziert ermitteln.
- Einfach, mit Hilfe der Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks:
\({A_1} = \dfrac{{a \cdot {h_a}}}{2} = \dfrac{{5 \cdot 20}}{2} = 50\)
- Kompliziert, indem wir tatsächlich das bestimmte Integral berechnen:
\(\eqalign{ & {s_B}\left( t \right) = \int\limits_0^5 {\left( { - 4 \cdot t + 20} \right)} \,\,dt = \cr & = - 4 \cdot \int\limits_0^5 {t\,dt + 20 \cdot \int\limits_0^5 {dt} } = \cr & = \left[ { - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot {t^2} + 20 \cdot t} \right]_0^5 = \cr & = \left[ {\left( { - 2 \cdot {5^2}} \right) - \left( {20 \cdot {0^2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {20 \cdot 5} \right) - \left( {20 \cdot 0} \right)} \right] = \cr & = - 50 + 100 = 50 \cr} \)
Der Bremsweg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 km/h hat eine Länge von 50m.
Wird die Anfangsgeschwindigkeit von 20km/h auf 10km/h halbiert, so entspricht das einer Parallelverschiebung der fallenden Geraden durch den Punkt (0|10) und somit durch (2,5|0).
so errechnet sich der neue Bremsweg wie folgt:
- Einfach, mit Hilfe der Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks:
\({A_2} = \dfrac{{a \cdot {h_a}}}{2} = \dfrac{{2,5 \cdot 10}}{2} = 12,5\)
- Kompliziert, indem wir tatsächlich das bestimmte Integral berechnen:
\(\eqalign{ & {s_B}\left( t \right) = \int\limits_0^{2,5} {\left( { - 4 \cdot t + 10} \right)} \,\,dt = \cr & = - 4 \cdot \int\limits_5^{2,5} {t\,dt + 10 \cdot \int\limits_5^{2,5} {dt} } = \cr & = \left[ { - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot {t^2} + 10 \cdot t} \right]_0^{2,5} = \cr & = \left[ {\left( { - 2 \cdot {{2,5}^2}} \right) - \left( {10 \cdot {0^2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {10 \cdot 2,5} \right) - \left( {10 \cdot 0} \right)} \right] = \cr & = - 12,5 + 25 = 12,5 \cr} \)
Der Bremsweg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 km/h hat eine Länge von 12,5m.
Der gesuchte Proportionalitätsfaktor k ergibt sich in dem wir die beiden Bremswege ins Verhältnis setzen:
\(\eqalign{ & 12,5 = k \cdot 50 \cr & k = \dfrac{{12,5}}{{50}} = \dfrac{1}{4} = 0,25 \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Die Geschwindigkeit nimmt um 4m/s ab.
- Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt 20 m/s.
2. Teilaufgabe
k=0,25
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Interpretieren beider Koeffizienten im gegebenen Sachzusammenhang, ein halber Punkt für das richtige Interpretieren nur eines Koeffizienten.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von k.