Aufgabe 3092
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best of Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades – 2123. Aufgabe 2_123
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c{\text{ mit }}a,b,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Teil b
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie rechnerisch mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f nach, dass auf der senkrechten Achse ein Extrempunkt P des Graphen von f liegt.
[0 / 1 P.]
Genau einer der Koeffizienten a, b und c ist ausschlaggebend dafür, ob es sich beim ermittelten Extrempunkt P um einen Hochpunkt handelt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
[0 / 1 P.]
Damit dieser Extrempunkt P ein Hochpunkt ist, muss für den Koeffizienten___1___ gelten, dass dieser ___2____ ist.
- Satzteil 1_1: a
- Satzteil 1_2: b
- Satzteil 1_3: c
- Satzteil 2_1: kleiner als 0
- Satzteil 2_2: gleich 1
- Satzteil 2_3: größer als 0
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c \cr & f'\left( x \right) = 4 \cdot a \cdot {x^3} + 2 \cdot b \cdot x \cr & f''\left( x \right) = 12 \cdot a \cdot {x^2} + 2 \cdot b \cr} \)
Damit ein Punkt der Funktion f(x) auf der senkrechten also auf der y-Achse liegt, muss sein Argument, also sein x-Wert, null sein.
Es muss also \(P = \left( {0\left| {{y_P}} \right.} \right){\text{ somit }}{x_P} = 0\) gelten.
Die Funktion f hat eine Extremstelle, also einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt, dort wo die 1. Ableitung der Funktion eine NST hat.
Es muss also \(f'\left( x \right) = 0\) gelten. Für P muss außerdem x=0 gelten:
\(f'\left( {{x_P} = 0} \right) = 4 \cdot a \cdot {0^3} + 2 \cdot b \cdot 0 = 0\,\,\,\,{\text{wzbw}}\)
Ob es sich dabei um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, entscheidet sich, ob die 2. Ableitung kleiner oder größer als Null ist. Anders formuliert muss für einen Extremwert also die 2. Ableitung ungleich Null sein. Für P muss außerdem x=0 gelten:
\(f''\left( {{x_P} = 0} \right) = 12 \cdot a \cdot {0^2} + 2 \cdot b = 2 \cdot b \ne 0\,\,\,\,{\text{wzbw}}\)
2. Teilaufgabe:
Ob es sich dabei um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, entscheidet sich, ob die 2. Ableitung kleiner oder größer als Null ist. Für einen Hochpunkt muss also die 2. Ableitung kleiner Null sein.
\(f''\left( {{x_P} = 0} \right) = 12 \cdot a \cdot {0^2} + 2 \cdot b = 2 \cdot b < 0\,\)
Damit 2b kleiner Null ist, muss b kleiner als null sein. Der Satz kann daher nur wie folgt lauten:
→ Damit dieser Extrempunkt P ein Hochpunkt ist, muss für den Koeffizienten b gelten, dass dieser kleiner als 0 ist.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & f'\left( {{x_P} = 0} \right) = 4 \cdot a \cdot {0^3} + 2 \cdot b \cdot 0 = 0\,\,\,\,{\text{wzbw}} \cr & f''\left( {{x_P} = 0} \right) = 12 \cdot a \cdot {0^2} + 2 \cdot b = 2 \cdot b \ne 0\,\,\,\,{\text{wzbw}} \cr} \)
2. Teilaufgabe
Damit dieser Extrempunkt P ein Hochpunkt ist, muss für den Koeffizienten b gelten, dass dieser kleiner als 0 ist.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige rechnerische Nachweisen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.