Aufgabe 3090
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best of Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schwimmkurs – 2122. Aufgabe 2_122
Teil c
In einer Kiste befinden sich 12 rote, 10 gelbe und 8 blaue Schwimmscheiben. Ein Schwimmlehrer zieht zufällig und ohne Zurücklegen nacheinander 3 Schwimmscheiben aus dieser Kiste. (Bei jeder Ziehung hat jede Schwimmscheibe, die sich noch in der Kiste befindet, die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.)
Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass der Schwimmlehrer dabei Schwimmscheiben in 3 unterschiedlichen Farben zieht.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der gleich der Wahrscheinlichkeit ist, die berechnet werden soll.
[1 aus 6] [0 / 1 P.]
- Wahrscheinlichkeit 1: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{30}} \cdot \dfrac{8}{{30}}\)
- Wahrscheinlichkeit 2: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{30}} \cdot \dfrac{8}{{30}} \cdot 3\)
- Wahrscheinlichkeit 3: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}}\)
- Wahrscheinlichkeit 4: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}} \cdot 3\)
- Wahrscheinlichkeit 5: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}} \cdot 6\)
- Wahrscheinlichkeit 6: \({\left( {\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}}} \right)^3}\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir sollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei 3-mal Ziehen genau 1 rote sowie 1 gelbe und 1 blaue Scheibe gezogen werden. Wenn eine Scheibe entnommen wird, sinkt die Anzahl der verbleibenden Scheiben von 30 auf 29 auf 28. Wir wählen willkürlich 2 mögliche Reihenfolgen:
- Reihenfolge rot-gelb-blau: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}} = \dfrac{{12 \cdot 10 \cdot 8}}{{30 \cdot 29 \cdot 8}}\)
- Reihenfolge blau-gelb-rot: \(\dfrac{8}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{{12}}{{28}} = \dfrac{{12 \cdot 10 \cdot 8}}{{30 \cdot 29 \cdot 8}}\)
Wir sehen, die Wahrscheinlichkeit ist unabhängig von der Reihenfolge! Die Frage ist daher, wie viele unterschiedliche Reihenfolgen gibt es?
Die Permutation n! ist die Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt, um n=3 unterscheidbaren Elemente in einer Reihe anzuordnen. Die Fakultät n!=3! gibt die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen an, um n=3 Elemente einer Menge anzuordnen. Es gibt also \(n! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) unterschiedliche Reihenfolgen, wobei jede einzelne Reihenfolge die gleichbleibende Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{{12 \cdot 10 \cdot 8}}{{30 \cdot 29 \cdot 8}}\) aufweist.
Es gibt also 6 mögliche Reihenfolgen für die gleichbleibende Wahrscheinlichkeit von \(\dfrac{{12 \cdot 10 \cdot 8}}{{30 \cdot 29 \cdot 8}}\) somit:
\(\dfrac{{12 \cdot 10 \cdot 8}}{{30 \cdot 29 \cdot 8}} \cdot 6 = \left( {\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}}} \right) \cdot 6\)
und das entspricht der 5. Wahlmöglichkeit.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Wahrscheinlichkeit 1: falsch
- Wahrscheinlichkeit 2: falsch
- Wahrscheinlichkeit 3: falsch
- Wahrscheinlichkeit 4: falsch
- Wahrscheinlichkeit 5: richtig
- Wahrscheinlichkeit 6: falsch
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.