Aufgabe 3073
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfelspiel
Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Nachstehend sind drei mögliche Ereignisse beschrieben.
- Grande: Eine beliebige Augenzahl tritt fünfmal auf, z. B. 4, 4, 4, 4, 4.
- Full House: Eine beliebige Augenzahl tritt genau dreimal auf. Eine andere beliebige Augenzahl tritt genau zweimal auf, z. B. 1, 1, 1, 4, 4.
- Straße: Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 3, 4, 5, 6 treten jeweils genau einmal auf.
Teil c
- Die Wahrscheinlichkeit für eine Straße liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei rund 3,09 %.
- Die Wahrscheinlichkeit für ein Full House liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei rund 3,86 %.
Franz würfelt einmal mit allen fünf Würfeln. Anna gibt Franz 40 Euro, wenn er eine Straße oder ein Full House erhalt. In allen anderen Fällen bekommt Anna von Franz x Euro.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie x so, dass die zu erwartenden Beträge, die Anna und Franz einander auszahlen, annähernd gleich sind.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Franz bekommt 40€ wenn er eine Straße oder ein Full House würfelt. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten finden sich in der Angabe. Da er Straße oder Full House würfeln muss, müssen wir die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten bilden.
\(P\left( {{\text{Franz bekommt 40 Euro}}} \right) \approx 0,0309 + 0,0386 = 0,0695 \buildrel \wedge \over =
6,95\% \)
Dass Anna in allen andren Fällen Geld von Franz bekommt, bedeutet dass wir die Gegenwahrscheinlichkeit ansetzen müssen:
\(P\left( {{\text{Anna bekommt x Euro}}} \right) = 1 - P\left( {{\text{Franz bekommt 40 Euro}}} \right) = 0,9305 \buildrel \wedge \over =
93,05\% \)
Da Anna eine mehr als 10-mal so hohe Erfolgswahrscheinlichkeit hat als Franz, stehen ihr auch nur weniger als 1/10-tel der 40€ von Franz zu, konkret:
\(\eqalign{
& 40 \cdot P\left( {{\text{Franz bekommt 40 Euro}}} \right) = x \cdot P\left( {{\text{Anna bekommt x Euro}}} \right) \cr
& 40 \cdot 0,0695 = x \cdot 0,9305 \cr
& x = \frac{{40 \cdot 0,0695}}{{0,9305}} \approx 2,987{\text{ Euro}} \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
x=2,987 €
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von x.