Aufgabe 3072
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfelspiel
Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig.
Teil b
Für die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E bei einem Wurf mit fünf Würfeln gilt:
\(P\left( E \right) = 6 \cdot \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right) \cdot {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^4} \cdot \frac{5}{6}} \right]\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir betrachten den Ausdruck in der Klammer,
\(\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
4
\end{array}} \right) \cdot {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^4} \cdot \dfrac{5}{6}} \right]\)
wobei wir wissen, dass mit n=5 Würfeln gewürfelt wird:
Dieser Ausdruck entspricht der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis einer Binomialverteilung mit n=5 Würfen mit „genau k=4 Treffern“ gemäß:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
- n=5 ... Es wird mit 5 Würfeln gewürfelt, bzw. mit 1 Würfel wird 5-mal gewürfelt
- k=4 ... Anzahl der Erfolge
- n-k=1
- p=1/6 ... Erfolg bei einem Wurf
- 1-p=5/6
Der Ausdruck in der Klammer bedeutet, dass beim Wurf mit 5 Würfeln genau 4-mal “ein-und-dieselbe“ Augenzahl (welche von den 6 Möglichen auch immer...) gewürfelt wird.
Ein Würfel hat 6 Möglichkeiten zum Liegen zu kommen. Vor dem Klammer-Ausdruck steht der Faktor 6:
- E ... Beim Wurf mit fünf Würfel wird genau 4-mal “ein-und-dieselbe“, jedoch aus den 6 Möglichkeiten (1,2,3,4,5,6) beliebige Augenzahl gewürfelt.
oder
- E … Beim Wurf mit fünf Würfel tritt eine (beliebige) Augenzahl genau 4-mal auf
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
E ... „beim Wurf der fünf Würfel tritt eine (beliebige) Augenzahl genau viermal auf“
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Beschreiben des Ereignisses im gegebenen Sachzusammenhang.