Aufgabe 3071
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfelspiel
Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Nachstehend sind drei mögliche Ereignisse beschrieben.
- Grande: Eine beliebige Augenzahl tritt fünfmal auf, z. B. 4, 4, 4, 4, 4.
- Full House: Eine beliebige Augenzahl tritt genau dreimal auf. Eine andere beliebige Augenzahl tritt genau zweimal auf, z. B. 1, 1, 1, 4, 4.
- Straße: Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 3, 4, 5, 6 treten jeweils genau einmal auf.
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für ein Grande, wenn die fünf Würfel einmal geworfen werden.
[0 / 1 P.]
Es wurden die Augenzahlen 2, 2, 2, 4 und 5 geworfen. Bei einem zweiten Wurf werden nur die beiden Würfel mit den Augenzahlen 4 und 5 erneut geworfen, die anderen drei Würfel bleiben liegen.
- Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Grande zu erhalten, betragt p1 .
- Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Full House zu erhalten, betragt p2 .
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die zwei Wahrscheinlichkeiten p1 und p2 .
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Würfel eine 1 (oder 2,3,4,5,6) zeigt, beträgt gemäß der Laplace-Wahrscheinlichkeit 1/6. Analog für die 4 folgenden Würfel, wobei es 6 Möglichkeiten gibt, einen Grande zu würfeln.
\(\eqalign{ & P\left( {1,1,1,1,1} \right) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} \cr & {\text{oder}} \cr & P\left( {4,4,4,4,4} \right) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} \cr & {\text{oder}} \cr & P\left( {6,6,6,6,6} \right) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} \cr} \)
Es gibt 6 Möglichkeiten einen Grande zu würfeln, wobei jeder Grande für sich mit der Wahrscheinlichkeit \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5}\) auftritt, somit:
\(\eqalign{ & P\left( {Grande} \right) = {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} + {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} + {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} + {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} + {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} + {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} = \cr & = 6 \cdot {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^5} = \dfrac{1}{{1296}} \approx 0,0007 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Es wurden die Augenzahlen 2, 2, 2, 4 und 5 geworfen.
Die „2“ ist bereits 3-mal aufgetreten und muss noch 2-mal auftreten:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der „4“ eine „2“ wird, beträgt 1/6.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der „5“ eine „2“ wird, beträgt 1/6.
Somit:
\({p_1} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{36}} \approx 0,0277\)
Die „2“ ist bereits 3-mal aufgetreten, eine andere Augenzahl muss nun noch 2-mal auftreten:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl ungleich 2 gewürfelt wird, beträgt 5/6.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass dieselbe Zahl erneut gewürfelt wird, beträgt 1/6.
Somit:
\({p_2} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{{36}} \approx 0,1388\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,007%
2. Teilaufgabe
\({p_1} \approx 0,0277;\,\,\,\,\,{p_2} \approx 0,1388\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit für ein Grande.
2. Teilaufgabe:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der zwei Wahrscheinlichkeiten p1 und p2, ein halber Punkt für nur eine richtige Wahrscheinlichkeit.