Aufgabe 3070
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beschleunigungstest
Bei einem Beschleunigungstest wird ein Fahrzeug aus dem Stillstand (Anfangsgeschwindigkeit = 0 km/h) beschleunigt. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v für einen Beschleunigungstest mit einem Sportwagen dargestellt. Dabei bewegt sich der Sportwagen t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs mit der Geschwindigkeit v(t) in km/h.
Illustration fehlt
Teil c
Die Geschwindigkeit-Beschleunigung-Funktion a ordnet jeder Geschwindigkeit v ∈ [80; 160] des Sportwagens näherungsweise die entsprechende Beschleunigung a(v) zu.
\(a\left( v \right) = 0,0003 \cdot {v^2} + b \cdot v + c{\text{ mit }}b,c \in {\Bbb R}\)
- v ... Geschwindigkeit in km/h
- a(v) ... Beschleunigung bei der Geschwindigkeit v in m/s2
In der nachstehenden Tabelle sind zwei Beschleunigungswerte angeführt.
v in km/h | 80 | 160 |
a(v) in m/s2 | 6,7 | 1,4 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie b und c.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie mithilfe der Funktion a und der Abbildung im Einleitungstext den Zeitpunkt t3, zu dem die Beschleunigung 3,7 m/s2 beträgt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Um die beiden Unbekannten b und c ermitteln zu können, benötigen wir 2 Bestimmungsgleichungen, etwa wie folgt:
\(\eqalign{ & a\left( v \right) = 0,0003 \cdot {v^2} + b \cdot v + c \cr & \cr & a\left( {80} \right) = 6,7 \cr & a\left( {v = 80} \right) = 0,0003 \cdot {80^2} + b \cdot 80 + c = 6,7 \cr & \cr & a\left( {160} \right) = 1,4 \cr & a\left( {v = 160} \right) = 0,0003 \cdot {160^2} + b \cdot 160 + c = 1,4 \cr & \cr & 0,0003 \cdot {80^2} + b \cdot 80 + c = 6,7 \cr & 0,0003 \cdot {160^2} + b \cdot 160 + c = 1,4 \cr & \cr & b = - 0,13825 \cr & c = 15,84 \cr} \)
Die Lösung selbst erfolgte mittels Technologie-Einsatz
Wolfram Alpha: 0.0003*80^(2)+80b+c=6.7;0.0003*160^(2)+160b+c=1.4
2. Teilaufgabe:
Mit Hilfe der Funktion a(v) ermitteln wir die Geschwindigkeit v3 wie folgt:
\(\eqalign{
& a\left( v \right) = 0,0003 \cdot {v^2} + b \cdot v + c \cr
& b = - 0,13825 \cr
& c = 15,84 \cr
& a\left( v \right) = 0,0003 \cdot {v^2} - 0,13825 \cdot v + 15,84 \cr
& \cr
& a\left( {{v_3}} \right) = 3,7 \cr
& a\left( {{v_3}} \right) = 0,0003 \cdot {v_3}^2 - 0,13825 \cdot {v_3} + 15,84 = 3,7 \cr
& \cr
& {v_3} \approx 118,054 \cr
& \left( {{v_3} \approx 342,778} \right) \cr} \)
Die Lösung der Gleichung 3-ten Grades erfolgte mittels Technologie-Einsatzes:
Wolfram Alpha: 0.0003v^(2)-0.13825v+15.84=3.7
Mit Hilfe der Abbildung, die einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und der Zeit bietet ermitteln wir nun die Zeit t3 wie folgt:
Abbildung fehlt
→ Aus der Abbildung folgt bei v=118 : t3 ≈ 5,5 s.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
b=-0,13825; c015,84
2. Teilaufgabe
t3=5,5s
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte.
2. Teilaufgabe:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t3.
Toleranzintervall für t3: [4; 6]