Aufgabe 3064
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Firmenlogos
Teil c
Im nachstehenden Koordinatensystem ist das Logo eines Fischrestaurants grau markiert dargestellt.
Abbildung fehlt
Das Logo ist symmetrisch bezüglich des Graphen der konstanten Funktion h mit h(x) = b mit b ∈ ℝ+. Die Begrenzungslinien des Logos sind Teile der Graphen der Funktionen f und g (siehe obige Abbildung).
Für die Funktion f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}{\text{ mit }}a \in {\mathbb{R}^ + }\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Funktionsgleichung von g auf.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir kennen die Gleichung der Funktion f, es handelt sich dabei um eine quadratische Funktion bzw. um eine nach oben offene Parabel.
Die gesuchte Funktion g ist
- eine nach unten offene Parabel
- die durch Spiegelung von f an der x-Achse hervorgeht
- und die anschließend um y=2b nach oben, also in Richtung der y-Achse, zu verschieben ist.
Für quadratische Funktionen, deren Graph eine Parabel ist, gilt ganz allgemein:
- a ist der Faktor vor dem quadratischen Term x2
- a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
- a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
- Der Faktor vor dem linearen Term ist null, dh es gibt keinen linearen Term
- b ist der konstante Term
- Der Faktor b bewirkt eine Schiebung vom Graph y-Richtung.
Die gesuchte Funktion g ist
- eine nach unten offene Parabel → -a
- die durch Spiegelung von f an der x-Achse hervorgeht
\({g_1}\left( x \right) = - a \cdot {x^2}\) - und die anschließend um y=2b in Richtung der y-Achse, zu verschieben ist.
Dh jeder Funktionswert der gespiegelten Funktion g1 muss um → +2b nach oben verschoben werden
Somit lautet die gesuchte Gleichung der Parabel g:
\(g\left( x \right) = - a \cdot {x^2} + 2 \cdot b\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(g\left( x \right) = - a \cdot {x^2} + 2 \cdot b\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von g.