Aufgabe 3062
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Firmenlogos
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist ein Firmenlogo grau markiert dargestellt:
Abbildung fehlt
Die untere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion f beschrieben:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8} \cdot {x^2} - 2\)
Die obere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion g beschrieben:
\(g\left( x \right) = a \cdot \left( {{x^3} - 16 \cdot x} \right){\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
An der Stelle x = 4 haben f und g die gleiche Steigung.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Parameter a.
[0 / 1 P.]
Der Punkt (0 | 0) ist ein Wendepunkt des Graphen von g.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie, warum der Graph der Funktion g keinen weiteren Wendepunkt haben kann.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Zunächst berechnen wir die Steigungen der Funktionen f bzw. g an der Stelle x=4.
\(\eqalign{ & \left( x \right) = \frac{1}{8} \cdot {x^2} - 2 \cr & f'\left( x \right) = \frac{x}{4} \cr & f'\left( {x = 4} \right) = 1 \cr & \cr & g\left( x \right) = a \cdot \left( {{x^3} - 16 \cdot x} \right) \cr & g'\left( x \right) = a \cdot \left( {3 \cdot {x^2} - 16} \right) \cr & g'\left( {x = 4} \right) = a \cdot \left( {3 \cdot 16 - 16} \right) = 32 \cdot a \cr} \)
Nun setzen wir die beiden Gleichungen gleich und machen a explizit:
\(\eqalign{ & f'\left( {x = 4} \right) = g'\left( {x = 4} \right) \cr & 1 = 32 \cdot a \cr & a = \frac{1}{{32}} \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Die Funktion g ist eine Polynomfunktion 3. Grades. Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2=1 Wendestellen haben.
oder:
Die Funktion g″ ist linear und hat daher nur 1 Nullstelle. → Die Funktion g kann nur 1 Wendepunkt haben.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(a = \dfrac{1}{{32}}\)
2. Teilaufgabe
Die Funktion g ist eine Polynomfunktion 3. Grades. Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2=1 Wendestellen haben.
oder:
Die Funktion g″ ist linear und hat daher nur 1 Nullstelle. → Die Funktion g kann nur 1 Wendepunkt haben.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen von a.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Begründen.