Aufgabe 3061
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vitamin C
Vitamin C erfüllt viele wichtige Aufgaben im menschlichen Körper.
Teil b
Ein Getränkehersteller möchte Fruchtsaft so in Flaschen abfüllen, dass jede Flasche 100 mg Vitamin C enthält. Es stehen zur Verfügung:
- Birnensaft mit 20 mg Vitamin C pro 100 ml
- Orangensaft mit 35 mg Vitamin C pro 100 ml
- Mischungen aus diesen beiden Säften
Emine behauptet, dass der Vitamin-C-Gehalt von 100 mg bei Flaschen mit einem Fassungsvermögen von 250 ml nicht erreicht werden kann.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie, warum Emines Behauptung richtig ist.
[0 / 1 P.]
Die zur Verfügung stehenden Fruchtsäfte werden so gemischt, dass 350 ml Saft genau 100 mg Vitamin C enthalten.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, wie viele Milliliter Birnensaft mit wie vielen Millilitern Orangensaft dafür gemischt werden müssen.
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Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- 100 ml Orangensaft enthalten 35 mg Vitamin C
- 250 ml Orangensaft enthalten daher die 2,5-fache Menge an Vitamin C, also \(2,5 \cdot 35 = 87,5\)
→ 250 ml Orangensaft enthalten nur 87,5 mg Vitamin C und somit weniger als 100 mg.
2. Teilaufgabe:
Wir benötigen 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten Anteile an Birnen- bzw. Orangensaft:
- x ... Menge an Birnensaft mit 20 mg Vitamin C pro 100 ml
- y ... Menge an Orangensaft mit 20 mg Vitamin C pro 100 ml
In Summe sollen die beiden Mengenanteile genau 100 mg Vitamin C ergeben. Somit erhalten wir die 1. Gleichung
\(0,2 \cdot x + 0,35 \cdot y = 100\)
In Summe sollen die beiden Mengenanteile genau 350 m Saft ergeben. Somit erhalten wir die 2. Gleichung
\(x + y = 350\)
Mit Hilfe der beiden Gleichungen können wir die beiden gesuchten Mengen x bzw. y wie folgt bestimmen:
\(\eqalign{ & 0,2 \cdot x + 0,35 \cdot y = 100 \cr & x + y = 350 \cr & \cr & x = 350 - y \cr & 0,2 \cdot \left( {350 - y} \right) + 0,35 \cdot y = 100 \cr & 70 - 0,2 \cdot y + 0,35 \cdot y = 100\,\,\,\,\,\left| { - 70} \right. \cr & 0,15 \cdot y = 30\,\,\left| {:0,15} \right. \cr & y = 200 \cr & \cr & x = 350 - 200 = 150 \cr & \cr & x = 150 \cr & y = 200 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
250 ml Orangensaft enthalten nur 87,5 mg Vitamin C und somit weniger als 100 mg.
2. Teilaufgabe
x=150; y=200
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Begründen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte.