Aufgabe 3060
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vitamin C
Vitamin C erfüllt viele wichtige Aufgaben im menschlichen Körper.
Teil a
Brokkoli enthält durchschnittlich 100 mg Vitamin C pro 100 g. Bei einem Gemüsegroßhändler wird eine Zufallsstichprobe von 50 Portionen frischem Brokkoli entnommen und für jede Portion der Vitamin-C-Gehalt pro 100 g gemessen.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks im nachstehenden Histogramm entspricht der absoluten Häufigkeit der Portionen dieser Stichprobe im jeweiligen Bereich.
Abbildung fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Anzahl der Portionen in der Zufallsstichprobe, die 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g aufweisen.
[0 / 1 P.]
Von der Zufallsstichprobe werden 3 Portionen ohne Zurücklegen entnommen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 dieser Portionen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g aufweisen.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir berechnen die Fläche des Rechtecks, dessen Breite 20 und dessen Höhe 1,5 lang ist. Die Einheit vom Produkt entnehmen wir der Angabe mit "Anzahl an Portionen"
\(20 \cdot 1,5 = 30\)
30 Portionen weisen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g auf.
2. Teilaufgabe:
- Die Zufallsstichprobe umfasst 50 Portionen frischem Brokkoli
- Gemäß der 1. Teilaufgabe weisen 30 Portionen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g auf.
- Die Zufallsvariable X entspricht der Anzahl der Portionen frischen Brokkoli mit 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g.
- Die Zufallsvariable X kann 4 Werte xi annehmen: Es können 0, 1, 2 oder 3 Portionen frischen Brokkoli mit 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g enthalten.
- Laut Angabe ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass „höchstens“ 2 Portionen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g aufweisen. Die Zufallsvariable X kann also nur die 3 Werte xi annehmen: 0, 1 oder 2, nicht aber 3.
- Ehe wir die 3 Einzelwahrscheinlichkeiten für 0, 1 oder 2 Portionen berechnen, berechnen wir lieber die Gegenwahrscheinlichkeit für X=3, also 1-(P(X=3).
\(\eqalign{
& P\left( {X = 3} \right) = \dfrac{{30}}{{50}} \cdot \dfrac{{29}}{{49}} \cdot \dfrac{{28}}{{48}} \cr
& \cr
& P\left( {X \leqslant 2} \right) = 1 - P\left( {X = 3} \right) = \cr
& = 1 - \dfrac{{30}}{{50}} \cdot \dfrac{{29}}{{49}} \cdot \dfrac{{28}}{{48}} \approx 0,7928 \cr} \)
→ Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 79,3 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
30 Portionen weisen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g auf.
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 79,3 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Anzahl.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.