Aufgabe 1828
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schokoladefiguren
Erfahrungsgemäß ist 1 % der in einer bestimmten Schokoladefabrik produzierten Schokoladefiguren fehlerhaft. Bei einer bestimmten Qualitätskontrolle werden 500 Schokoladefiguren zufällig ausgewählt, wobei jede Schokoladefigur – unabhängig von den anderen Schokoladefiguren – mit der gleichen Wahrscheinlichkeit (von 1 %) fehlerhaft ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Qualitätskontrolle höchstens 2 Schokoladefiguren fehlerhaft sind.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
X ... Anzahl der fehlerhaften Schokoladefiguren
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 500 und p = 0,01:
„Höchstens 2 fehlerhafte Figuren“ bedeutet 0, 1 oder 2 fehlerhafte Figuren
\(\begin{array}{l} P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {500}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {0,01^0} \cdot {\left( {1 - 0,01} \right)^{500}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {500}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,01^1} \cdot {\left( {1 - 0,01} \right)^{499}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {500}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,01^2} \cdot {\left( {1 - 0,01} \right)^{498}} \approx \\ \approx 0,12338 \buildrel \wedge \over = 12,3\% \\ \\ {\rm{Binomial}}(500,0)*{0.01^{(0)}}*{(1 - 0.01)^{(500)}} + \\ + {\rm{Binomial}}(500,1)*{0.01^{(1)}}*{(1 - 0.01)^{(499)}} + \\ + {\rm{Binomial}}(500,2)*{0.01^{(2)}}*{(1 - 0.01)^{(498)}} \end{array}\)
Die Wahrscheinlichkeit höchstens 2 defekte Figuren zu finden beträgt ca. 12,3%
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit höchstens 2 defekte Figuren zu finden beträgt ca. 12,3%
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.