Aufgabe 1733
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonntagsfrage
Sonntagsfrage nennt man in der Meinungsforschung die Frage „Welche Partei wurden Sie wählen, wenn am kommenden Sonntag Wahlen waren?“. Bei einer solchen Sonntagsfrage, bei der die Parteien A und B zur Auswahl standen, gaben 234 von 1 000 befragten Personen an, Partei A zu wählen. Bei der darauffolgenden Wahl lag der tatsächliche Anteil der Personen, die die Partei A gewählt haben, bei 29,5 %.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie auf Basis dieses Umfrageergebnisses ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den (unbekannten) Stimmenanteil der Partei A und geben Sie an, ob der tatsachlich Anteil in diesem Intervall enthalten ist.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Sonntagsfrage: \(\dfrac{{234}}{{1000}} \buildrel \wedge \over = 23,4\% \)
Wahl: 29,5%
Gesucht ist das 95-%-Konfidenzintervall zur Sonntagsfrage
\({p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} \)
- h=0,234
- n=1000
- z=1,96
Entweder man kennt z=1,96 für ein 95% Konfidenzintervall, oder man ermittelt es gemäß
\(\begin{array}{l}
2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = 0,95\\
\Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975
\end{array}\)
Aus der Tabelle für die Standardnormalverteilung können wir für das 95% Konfidenzintervall wie folgt ablesen:
z(0,975)=1,96
Wir setzen h, n und z in obige Formel ein und erhalten:
\(\begin{array}{l}
{p_{1,2}} = 0,234 \pm 1,96 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,234 \cdot \left( {1 - 0,234} \right)}}{{1000}}} \approx 0,234 \pm 0,026\\
{p_{1,2}} \to \left[ {0,208;0,260} \right]\\
0,295 \notin \left[ {0,208;0,260} \right]
\end{array}\)
→ Der tatsächliche Stimmenanteil liegt nicht im berechneten 95-%-Konfidenzintervall.
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Der tatsächliche Stimmenanteil liegt nicht im berechneten 95-%-Konfidenzintervall.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für ein richtiges Konfidenzintervall und eine richtige entsprechende Angabe, ob der tatsächliche Anteil in diesem enthalten ist.
- Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,2; 0,22]
- Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,25; 0,27]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.