Aufgabe 1682
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Jetons
In zwei Schachteln befindet sich Spielgeld.
- In Schachtel I sind fünf 2-Euro-Jetons und zwei 1-Euro-Jetons.
- In Schachtel II sind vier 2-Euro-Jetons und fünf 1-Euro-Jetons.
Aus jeder der beiden Schachteln wird unabhängig voneinander je ein Jeton entnommen. Dabei hat pro Schachtel jeder Jeton die gleiche Wahrscheinlichkeit, entnommen zu werden.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Entnahme der beiden Jetons in beiden Schachteln der gleiche Geldbetrag vorhanden ist!
Lösungsweg
Ausgangslage:
- Schachtel 1: 7 Jetons mit einem Wert von insgesamt \(5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 12\)
- Schachtel 2: 9 Jetons mit einem Wert von insgesamt \(4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 13\)
Da in der Schachtel 2 um 1€ mehr Jetons sind als in der Schachtel 1, müssen wir aus der 2. Schachtel um 1€ mehr herausnehmen als aus der 1. Schachtel, um den Unterschied durch die beiden Entnahmen auszugleichen.
- Aus der Schachtel 2 muss einer der vier 2€ Jetons von insgesamt 9 Jetons entnommen werden: \({P_2} = \dfrac{{{\text{günstige}}}}{{{\text{mögliche}}}} = \dfrac{4}{9}\)
- Aus der Schachtel 1 muss einer der beiden 1€ Jetons von insgesamt 7 Jetons entnommen werden: \({P_1} = \dfrac{{{\text{günstige}}}}{{{\text{mögliche}}}} = \dfrac{2}{7}\)
Wir wissen über Baumdiagramme, dass sich die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige entlang des Pfades errechnet.
\(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{8}{{63}} \approx 0,1269 \buildrel \wedge \over = 12,69\% \)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Entnahme der beiden Jetons in beiden Schachteln der gleiche Geldbetrag (11 Euro) vorhanden ist, beträgt ca. 12,7 %.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Entnahme der beiden Jetons in beiden Schachteln der gleiche Geldbetrag (11 Euro) vorhanden ist, beträgt ca. 12,7 %.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,12; 0,13]