Aufgabe 1612
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rosenstöcke
Ein bestimmter Prozentsatz der Stöcke einer Rosensorte bringt gelbe Blüten hervor. In einem Beet wird eine gewisse Anzahl an Rosenstöcken dieser Sorte gepflanzt. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt und gibt die Anzahl der gelbblühenden Rosenstöcke an. Dabei beträgt der Erwartungswert für die Anzahl X der gelbblühenden Rosenstöcke 32, und die Standardabweichung hat den Wert 4.
Es wird folgender Vergleich angestellt: „Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in diesem Beet mindestens 28 und höchstens 36 gelbblühende Rosenstocke befinden, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 32 gelbblühende Rosenstöcke vorhanden sind.“
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob dieser Vergleich zutrifft, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Lösungsweg
Aus der Angabe wissen wir folgendes über gelbblühende Rosenstücke:
- \(\mu = 32\) ... Erwartungswert
- \(\sigma = 4\) ... Standardabweichung
- → \(\left( {\mu - \sigma } \right) = 28;\,\,\,\,\,\left( {\mu + \sigma } \right) = 36\)
Die Normalverteilung, auch Gauß'sche Glockenverteilung genannt, bietet sich immer dann an, wenn Werte innerhalb eines begrenzten Intervalls liegen und es kaum Ausreißer gibt. Die Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 und 3-fache \(\sigma\) -Umgebungen beträgt:
\(\eqalign{ & P\left( {\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma } \right) \approx 0,683 \cr & P\left( {\mu - 2 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \cdot \sigma } \right) \approx 0,954 \cr & P\left( {\mu - 3 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3 \cdot \sigma } \right) \approx 0,997 \cr} \)
1. Lösungsmöglichkeit:
Wir können wie folgt argumentieren:
- 1. Teil der Fragestellung: \(P\left( {28 \le X \le 36} \right)\) das entspricht erfreulicher Weise genau dem Erwartungswert plus/minus der Standardabweichung: \(P\left( {28 \le X \le 36} \right) \approx 0,683\)
- 2. Teil der Fragestellung: \(P(X > 32)\) das entspricht erfreulicher Weise genau dem ganzen Bereich rechts vom Erwartungswert: \(P(X > 32) = 0,5\)
→ Der Vergleich trifft zu, weil \(P\left( {28 \le X \le 36} \right) > P(X > 32)\)
2. Lösungsmöglichkeit:
Grafisch, mittels der Geogebra Befehle Normal und Integral
Für den 1. Teil der Fragestellung: "Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in diesem Beet mindestens 28 und höchstens 36 gelbblühende Rosenstocke befinden", also für
\(P\left( {28 \le X \le 36} \right) \approx P\left( {\mu - \sigma \le Y \le \mu + \sigma } \right) \approx 0,683\)
Illustration mittel Geogebra:
- Normal(32, 4, x, false)
- Integral(f, 28, 36)
Für den 2. Teil der Fragestellung: "mehr als 32 gelbblühende Rosenstöcke", also für
\(P(X > 32) \approx P\left( {Y > \mu } \right) = 0,5\)
Illustration mittel Geogebra:
- Normal(32, 4, x, false)
- Integral(f, 32, 1000)
→ Der Vergleich trifft zu, weil \(P\left( {28 \le X \le 36} \right) > P(X > 32)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Vergleich trifft zu, weil \(P\left( {28 \le X \le 36} \right) > P(X > 32)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe, dass der Vergleich zutrifft und für eine korrekte Begründung