Aufgabe 1494
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
500-Euro-Scheine in Österreich
Bei einer repräsentativen Umfrage in Österreich geht es um die in Diskussion stehende Abschaffung der 500-Euro-Scheine. Es sprechen sich 234 von 1 000 Befragten für eine Abschaffung aus.
Aufgabenstellung:
Geben Sie ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil der Österreicherinnen und Österreicher, die eine Abschaffung der 500-Euro-Scheine in Österreich befürworten, an!
Lösungsweg
Wir stellen die erforderlichen Werte für h, n und z wie folgt zusammen:
h ... relative Häufigkeit in der Stichprobe
\(h = \dfrac{{234}}{{1000}} = 0,234\)
n .. Umfang der Stichprobe
\(n = 1000\)
Für das 95%-Konfidenzintervall gilt:
\(\eqalign{ & 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = 0,95 \cr & \Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975 \cr} \)
Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung können wir ablesen: \(z\left( {0,975} \right) = 1,96\)
Wir setzen in die Formel für das Konfidenzintervall wie folgt ein:
\(\gamma\)Konfidenzintervall für p: \(\left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
\(0,234 \pm 1,96*\sqrt {\dfrac{{0,234*\left( {1 - 0,234} \right)}}{{1000}}} \approx 0,234 \pm 0,026249 \Rightarrow \left[ {0,207751;\,\,0,260249} \right]\)
.. und können somit die Lösung wie folgt anschreiben:
- Der untere Wert des Konfidenzintervall beträgt: 0,208;
- Der obere Wert des Konfidenzintervall beträgt: 0,260
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Der untere Wert des Konfidenzintervall beträgt: 0,208;
- Der obere Wert des Konfidenzintervall beträgt: 0,260;
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für ein korrektes Intervall.
- Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,20; 0,21]
- Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,26; 0,27]