Aufgabe 1473
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zollkontrolle
Eine Gruppe von zehn Personen überquert eine Grenze zwischen zwei Staaten. Zwei Personen führen Schmuggelware mit sich. Beim Grenzübertritt werden drei Personen vom Zoll zufällig ausgewählt und kontrolliert.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass unter den drei kontrollierten Personen die beiden Schmuggler der Gruppe sind!
Lösungsweg
3 mal wird von den Zöllnern eine Person ausgewählt. Es erfolgt „kein Zurücklegen“, denn die kontrollierte Person darf die Grenze übertreten und muss sich nicht erneut zur Kontrolle anstellen.
Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm
- Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
- Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten
3-faches Ziehen ohne Zurücklegen
- 10 Personen überqueren die Grenze
- 2 Personen sind Schmuggler
- 8 Personen sind keine Schmuggler
- 3 Personen werden zufällig ausgewählt
Es gibt 3 Pfade, die dazu führen, dass beide Schmuggler enttarnt werden:
\(\begin{array}{l} P = \dfrac{2}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{8}{8} + \dfrac{2}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{8} + \dfrac{8}{{10}} \cdot \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{1}{8} = \\ = \dfrac{{2 \cdot 1 \cdot 8}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}} + \dfrac{{2 \cdot 8 \cdot 1}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}} + \dfrac{{8 \cdot 2 \cdot 1}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}} = \\ = \dfrac{{2 \cdot 1 \cdot 8}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}} + \dfrac{{2 \cdot 1 \cdot 8}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}} + \dfrac{{2 \cdot 1 \cdot 8}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}}\\ = \dfrac{2}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{8}{8} \cdot 3 = \dfrac{1}{{15}} \end{array}\)
\(P = \dfrac{1}{{15}} \approx 0,067 \buildrel \wedge \over = 6,7\% \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P \approx 0,067\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [0,066; 0,07]
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.