Aufgabe 1448
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Maturaball-Glücksspiele
Bei einem Maturaball werden zwei verschiedene Glücksspiele angeboten: Ein Glücksrad und eine Tombola, bei der 1000 Lose verkauft werden. Das Glücksrad ist in zehn gleich große Sektoren unterteilt, die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten können. Man gewinnt, wenn der Zeiger nach Stillstand des Rades auf das Feld der „1“ oder der „6“ zeigt.
Aufgabenstellung:
Max hat das Glücksrad einmal gedreht und als Erster ein Los der Tombola gekauft. In beiden Fällen hat er gewonnen. Die Maturazeitung berichtet darüber: „Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt 3 %.“ Berechnen Sie die Anzahl der Gewinn-Lose!
Lösungsweg
- Um beim Glücksrad zu gewinnen, gibt es 2 günstige Fälle (1 und 6) und 10 mögliche Fälle (0 bis 9). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun aus Anzahl der günstigen Fälle dividiert durch Anzahl der möglichen Fälle. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit beim Glücksrad zu gewinnen: \(P({\text{Rad}}) = \dfrac{2}{{10}} = \dfrac{1}{5} = 0,2\)
- Die Wahrscheinlichkeit in der Tombola zu gewinnen ist abhängig von der unbekannten Anzahl x an Gewinnlosen und ergibt sich bei insgesamt 1.000 Losen wir folgt: \(P({\text{Tombola}}) = \dfrac{x}{{1000}}\)
- Stochastisch unabhängige Ereignisse: Die Ereignisse A und B sind von einander stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis A durch das Ereignis B nicht beeinflusst wird und umgekehrt: \(P\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right)\)
- Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist mit 3%, entsprechend 0,03 gegeben.
\(P({\text{Rad}} \cap {\text{Tombola}}) = P({\text{Rad}}) \cdot P({\text{Tombola}}) = \dfrac{2}{{10}} \cdot \dfrac{x}{{1000}}=0,03 \)
somit:
\(\eqalign{ & \dfrac{2}{{10}} \cdot \dfrac{x}{{1000}} = 0,03\,\,\,\,\,\left| { \cdot 10000} \right. \cr & 2x = 300\,\,\,\,\,\left| {:2} \right. \cr & x = 150 \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Anzahl der Gewinnlose beträgt: 150 Stk
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.