Aufgabe 11265
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Gegeben ist der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die beiden Anzahlen an, die mit dem Binomialkoeffizienten \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)\) übereinstimmen.
[2 aus 5] [0 / 1 P.]
- Anzahl 1: Die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer zehnelementigen Menge
- Anzahl 2: Die Anzahl derjenigen Zahlen, die mit zwei Ziffern gebildet werden können
- Anzahl 3: Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Personen aus einer Gruppe von zehn Personen auszuwählen
- Anzahl 4: Die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim zehnmaligen Werfen einer Münze
- Anzahl 5: Die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim Werfen zweier Würfel, die jeweils zehn mit den Ziffern 1 bis 10 beschriftete Seitenflächen haben
Lösungsweg
Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von insgesamt n Elementen auszuwählen. Die Reihenfolge der Auswahl spielt keine Rolle.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 2 \end{array}} \right) = \dfrac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = 45\)
- Anzahl 1: Richtig, weil es der Definition vom Binomialkoeffizienten entspricht
- Anzahl 2: Falsch, weil die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt. Etwa: 15 ungleich 51. Daher können wir mit den zwei-ziffrigen Zahlen den Bereich von 00 bis 99, also 100 unterschiedliche Zahlen bilden, während der Binomialkoeffizient nur 45 zwei-elementige Teilmengen umfasst
- Anzahl 3: Richtig, weil es der Definition vom Binomialkoeffizienten entspricht.
- Anzahl 4: Falsch, weil der Binomialkoeffizient aussagt wie oft etwa 2 mal Kopf beim zehnmaligen Werfen der Münze erscheint. Wenn man eine Münze 10-mal wirft, kann aber 0 bis zu 10-mal Kopf erscheinen und nicht nur 2-mal. Exakt: 210=1024>> 45
- Anzahl 5: Falsch, weil die beiden Würfel unterscheidbar sind und es daher einen Unterschied macht ob (3,4) oder (4,3) gewürfelt wurde. Es gibt also viel mehr als 45 Ausgänge.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Anzahl 1: Richtig
- Anzahl 2: Falsch
- Anzahl 3: Richtig
- Anzahl 4: Falsch
- Anzahl 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.