Aufgabe 1051
AHS - 1_051 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kugelschreiber
Ein Kugelschreiber besteht aus zwei Bauteilen, der Mine (M) und dem Gehäuse mit dem Mechanismus (G). Bei der Qualitätskontrolle werden die Kugelschreiber einzeln entnommen und auf ihre Funktionstüchtigkeit hin getestet. Ein Kugelschreiber gilt als defekt, wenn mindestens ein Bauteil fehlerhaft ist.Im nachstehenden Baumdiagramm sind alle möglichen Fälle für defekte und nicht defekte Kugelschreiber aufgelistet.
A | \({p_1} = 0,95 \cdot 0,92\) |
B | \({p_2} = 0,05 \cdot 0,08 + 0,95 \cdot 0,08\) |
C | \({p_3} = 0,05 + 0,92\) |
D | \({p_4} = 0,05 + 0,95 \cdot 0,08\) |
E | \({p_5} = 0,05 \cdot 0,92\) |
F | \({p_6} = 1 - 0,05 \cdot 0,08\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Ereignissen E1, E2, E3 bzw. E4 die entsprechende Wahrscheinlichkeit p1, p2, p3, p4, p5 oder p6 (aus A bis F) zu!
Deine Antwort | |
E1: Eine Mine ist defekt und das Gehäuse ist in Ordnung. | |
E2: Ein Kugelschreiber ist defekt. | |
E3: Höchstens ein Teil ist defekt. | |
E4: Ein Kugelschreiber ist nicht defekt. |
Lösungsweg
Im Wissen über die (weiter unten einkopierten) Produktregel und die Summenregel bei Pfaden im Baumdiagramm ermitteln wir die Wahrscheinlichkeiten für die 4 gegebenen Ereignisse wie folgt:
- E1: Eine Mine ist defekt und das Gehäuse ist in Ordnung: Start → Mine defekt → Gehäuse in Ordnung: \({p_{E1}} = 0,05 \cdot 0,92 = {p_5}\) ⇒ E
- E2: Ein Kugelschreiber ist defekt: Start → Mine defekt + Start → Mine ist okay → Gehäuse ist defekt: \({p_{E2}} = 0,05 + 0,95 \cdot 0,08 = {p_4}\)⇒ D
- E3: Höchstens ein Teil ist defekt (d.h.: kein Teil, nur die Mine oder nur das Gehäuse sind defekt). Wir arbeiten mit der Gegenwahrscheinlichkeit (Mine und Gehäuse sind defekt und ziehen diesen Wert von 1 ab): \({p_{E3}} = 1 - 0,05 \cdot 0,08 = {p_6}\)⇒ F
- E4: Ein Kugelschreiber ist nicht defekt: Start → Miene ist okay → Gehäuse ist okay: \({p_{E4}} = 0,95 \cdot 0,92 = {p_1}\)⇒ A
Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm
- Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
- Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten
Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \). Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang: \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- E1: E
- E2: D
- E3: F
- E4: A
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die vier Zuordnungen richtig erfolgt sind.