Aufgabe 1719
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parabeln
Die Graphen von Funktionen
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^2}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
sind Parabeln. Für a = 1 erhält man den oft als Normalparabel bezeichneten Graphen. Je nach Wert des Parameters a erhält man Parabeln, die im Vergleich zur Normalparabel „steiler“ oder „flacher“ bzw. „nach unten offen“ oder „nach oben offen“ sind.
Aufgabenstellung:
Nachstehend sind vier Parabeln beschrieben. Ordnen Sie den vier Beschreibungen jeweils diejenige Bedingung (aus A bis F) zu, die der Parameter a erfüllen muss.
- Parabel 1: Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel „flacher“ und „nach oben offen“.
- Parabel 2: Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel weder „flacher“ noch „steiler“, aber „nach unten offen“.
- Parabel 3: Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel „steiler“ und „nach unten offen“.
- Parabel 4: Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel „steiler“ und „nach oben offen“.
- Bedingung A: \(a < - 1\)
- Bedingung B: \(a = - 1\)
- Bedingung C: \( - 1 < a < 0\)
- Bedingung D: \(0 < a < 1\)
- Bedingung E: \(a = 1\)
- Bedingung F: \(a > 1\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir überlegen uns die Auswirkungen vom Parameter a wie folgt:
Parabel 1:
- flacher → Funktionswerte müssen kleiner als die der Normalparabel sein → a<1
- nach oben offen → a>0
- 0<a<1 → Bedingung D
Parabel 2:
- weder flacher noch steiler, also gleich → a=1
- nach unten offen → a=-1 → Bedingung B
Parabel 3:
- steiler → Funktionswerte müssen größer als die der Normalparabel sein → a>1 z.B.: 2
- nach unten offen → a<-1 z.B.: -2 → Bedingung A (Achtung bei negativen Werten: -2<-1)
Parabel 4:
- steiler → Funktionswerte müssen größer als die der Normalparabel sein → a>1
- nach oben offen → a>0 - das ist weniger stark als die obige Forderung a>1
- a>1 → Bedingung F
Nochmals eine Illustration zur Veranschaulichung:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Parabel 1: Bedingung D
- Parabel 2: Bedingung B
- Parabel 3: Bedingung A
- Parabel 4: Bedingung F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Aussagen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein halber Punkt zu geben.