Aufgabe 1620
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Pyramide
Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide kann als Funktion O in Abhängigkeit von der Länge der Grundkante a und der Höhe der Seitenfläche h1 aufgefasst werden. Es gilt: \(O\left( {a,{h_1}} \right) = {a^2} + 2 \cdot a \cdot {h_1}\) wobei \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) und \({h_1} > \dfrac{a}{2}\)
Aufgabenstellung
Gegeben sind sechs Aussagen zur Oberflache von regelmäßigen quadratischen Pyramiden. Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
- Aussage 1: Ist h1 konstant, dann ist die Oberflache direkt proportional zu a.
- Aussage 2: Ist a konstant, dann ist die Oberflache direkt proportional zu h1.
- Aussage 3: Für a = 1 cm ist die Oberflache sicher grösser als 2 cm2.
- Aussage 4: Für a = 1 cm ist die Oberflache sicher kleiner als 10 cm2.
- Aussage 5: Werden sowohl a als auch h1 verdoppelt, so wird die Oberflache verdoppelt.
- Aussage 6: Ist h1 = a2, dann kann die Oberfläche durch eine Exponentialfunktion in Abhängigkeit von a beschrieben werden.
Lösungsweg
Durch einsetzen in die Formel für die Oberfläche der quadratischen Pyramide prüfen wir jede der 6 Aussage ab, ob sie zutrifft oder ob nicht.
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil a sowohl als lineares aber auch als quadratisches Glied im Polynom vorkommt
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, wäre die Oberfläche direktproportional zu h1 dann müsste sie bei zweimaliger Verdoppelung von h1 jedes Mal um den selben Faktor ansteigen \(O\left( {a,{h_1}} \right) = \lambda \cdot O\left( {a,2{h_1}} \right) = \lambda \cdot O\left( {a,4{h_1}} \right)\), was aber nicht der Fall ist, wie wir für a=5 und h1=3 nachfolgend zeigen :
\(\eqalign{ & {\text{O}}\left( {a,{h_1}} \right) = {a^2} + 2 \cdot a \cdot {h_1} \cr & {\text{O}}(5,3) = 25 + 30 = 55 \cr & {\text{O}}(5,6) = 25 + 60 = 85 = 1,54 \cdot {\text{O}}(5,3) \cr & {\text{O}}(5,12) = 25 + 120 = 145 = 1,70 \cdot {\text{O}}\left( {5,6} \right) \cr} \) - Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil wenn a=1 und \({h_1} = \dfrac{a}{2}\)dann gilt: \(O\left( {1,{h_1}} \right) = {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} = 2\) da aber laut Angabe \({h_1} > \dfrac{a}{2}\) muss auch \(O > 2{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{2}}}\) gelten.
- Aussage 4: Falsch, weil wenn mit zunehmendem h auch die Oberfläche immer weiter zunimmt, bis letztlich \({h_1} \to \infty \Rightarrow O \to \infty \)
- Aussage 5: Falsch, weil \(O\left( {2a,2{h_1}} \right) = {\left( {2a} \right)^2} + 2 \cdot \left( {2a} \right) \cdot \left( {2{h_1}} \right) = 4{a^2} + 8 \cdot a \cdot {h_1} = 4 \cdot \left( {{a^2} + 2 \cdot a \cdot {h_1}} \right)\)dh die Oberfläche vervierfacht sich.
- Aussage 6: Falsch, weil \(O\left( {a,{a^2}} \right) = {a^2} + 2 \cdot a \cdot {a^2} = {a^2} + 2 \cdot {a^3}\) dh die Beschreibung müsste durch eine Polynomfunktion 3. Grades erfolgen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Aussage angekreuzt ist.