Aufgabe 1599
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderungsprozess
Durch die Gleichung \(N\left( t \right) = 1,2 \cdot {0,98^t}\) wird ein Änderungsprozess einer Größe N in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben.
- Aussage 1: Von einer radioaktiven Substanz zerfallen pro Zeiteinheit 0,02 % der am jeweiligen Tag vorhandenen Menge.
- Aussage 2: In ein Speicherbecken fliesen pro Zeiteinheit 0,02 m3 Wasser zu.
- Aussage 3: Vom Wirkstoff eines Medikaments werden pro Zeiteinheit 1,2 mg abgebaut.
- Aussage 4: Die Einwohnerzahl eines Landes nimmt pro Zeiteinheit um 1,2 % zu.
- Aussage 5: Der Wert einer Immobilie steigt pro Zeiteinheit um 2 %.
- Aussage 6: Pro Zeiteinheit nimmt die Temperatur eines Körpers um 2 % ab.
Aufgabenstellung:
Welcher der angeführten Änderungsprozesse kann durch die angegebene Gleichung beschrieben werden? Kreuzen Sie den zutreffenden Änderungsprozess an!
Lösungsweg
Exponentialfunktion: \(N\left( t \right) = 1,2 \cdot {0,98^t}\)
- Der Anfangswert N0 der Funktion beträgt 1,2
- Die Basis a der Funktion ist mit 0,98 zwischen 0<a<1, womit die Funktion streng monoton fallend ist
- a=0,98 bedeutet, dass die Funktion um (1-0,98=)0,02 entsprechend 2% pro Zeiteinheit abnimmt
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil nicht um 0,02 % sondern um (1-0,98=)0,02 entsprechend 2% abnimmt
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die Basis a=0,98 zwischen 0<a<1 liegt, womit die Funktion streng monoton fallend ist und nicht wachsend ist
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil 1,2 der Startwert ist, von dem ausgehend ein Zerfall um 2% pro Zeiteinheit stattfindet
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil die Basis a=0,98 zwischen 0<a<1 liegt, womit die Funktion streng monoton fallend ist und nicht wachsend ist
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil die Basis a=0,98 zwischen 0<a<1 liegt, womit die Funktion streng monoton fallend ist und nicht wachsend ist
- Aussage 6: Diese Aussage ist richtig, weil a=0,98 bedeutet, dass die Funktion um (1-0,98=)0,02 entsprechend 2% pro Zeiteinheit abnimmt
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Änderungsprozess angekreuzt ist.