Aufgabe 1459
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Exponentialfunktion
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( x \right) = 50 \cdot {1,97^x}\)
- Aussage 1: Der Graph der Funktion f verlauft durch den Punkt P = (50|0).
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [0; 5] streng monoton steigend.
- Aussage 3: Wenn man den Wert des Arguments x um 5 vergrößert, wird der Funktionswert 50-mal so groß.
- Aussage 4: Der Funktionswert f(x) ist positiv für alle x ∈ ℝ.
- Aussage 5: Wenn man den Wert des Arguments x um 1 vergrößert, wird der zugehörige Funktionswert um 97 % größer.
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen trifft/treffen auf diese Funktion zu? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil \(f\left( {50} \right) = 50 \cdot {1,97^{50}} \ne 0\) Anmerkung, weil nicht gefragt: Aber wegen \(f\left( 0 \right) = 50 \cdot {1,97^{^0}} = 50 \cdot 1 = 50\) verläuft sie durch den Punkt \(P = \left( {0\left| {50} \right.} \right)\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil Exponentialfunktionen vom Typ \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit a > 1 streng monoton steigend sind.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil \(\eqalign{ & f(x + 5) = 50 \cdot {1,97^{x + 5}} = 50 \cdot {1,97^x} \cdot {1,97^5} = \cr & = f(x) \cdot {1,97^5} \approx f(x) \cdot 29,7 \ne 50 \cdot f\left( x \right) \cr} \)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil eine positive Basis (1,97) mit jeglichem Exponenten x stets größer als 0 ist. Selbst für sehr hohe negative x konvergiert der Wert der Potenz "nur" gegen Null, wird aber nie Null oder gar negativ.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil \(f(x + 1) = 50 \cdot {1,97^{x + 1}} = 50 \cdot {1,97^x} \cdot {1,97^1} = f(x) \cdot 1,97\)
wir können den Sachverhalt noch etwas anschaulicher darstellen: \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) \cdot 1,97 = f(x) \cdot \left( {1 + \dfrac{{97}}{{100}}} \right) = f\left( x \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right){\text{ mit p}} \overset{\wedge}\to{=} {\text{97\% }}\)
zur Aussage 2:
Eine Funktion f ist im Intervall \([0;5]\) genau dann streng monoton steigend, wenn für alle \({x_1},{x_2} \in [0;5]\) mit \({x_1} < {x_2}\) gilt, dass \(f({x_1}) < f({x_2})\) .
Wir zeigen hier wie man die Aussage 2 mathematisch begründen kann:
Es seien \({x_1},{x_2} \in [0;5]\) mit \({x_1} < {x_2}\) . Dann gilt \({1,97^{{x_2} - {x_1}}} > 1\) .
Damit aber durch Umformen auch:
\(\eqalign{ & {1,97^{{x_2} - {x_1}}} > 1 \cr & {1,97^{{x_2}}} \cdot {1,97^{ - {x_1}}} > 1\,\,\,\,\left| { \cdot {{1,97}^{{x_1}}}} \right. \cr & {1,97^{{x_2}}} > {1,97^{{x_1}}}\,\,\,\,\left| { \cdot 50} \right. \cr & f({x_2}) = 50 \cdot {1,97^{{x_2}}} > 50 \cdot {1,97^{{x_1}}} = f({x_1}) \cr} \)
Also gilt strenge Monotonie: \(f({x_2}) > f({x_1})\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle 3 richtigen Aussagen angekreuzt sind.