Aufgabe 1386
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter der Schwingungsfunktionen
Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen von zwei Funktionen f und g, deren Gleichungen den Funktionsterm \(a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) haben \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 0 \right\}\). Dabei wird a als Amplitude und b als Kreisfrequenz bezeichnet.
- Aussage 1: Die Amplitude von g ist dreimal so groß wie die Amplitude von f.
- Aussage 2: Wurde man die Kreisfrequenz von f verdreifachen, so wäre der neue Graph mit jenem von g deckungsgleich.
- Aussage 3: Die Kreisfrequenz von f beträgt 1.
- Aussage 4: Die Kreisfrequenz von g ist doppelt so groß wie die Kreisfrequenz von f.
- Aussage 5: Eine Veränderung des Parameters a bewirkt eine Verschiebung des Graphen der Funktion in senkrechter Richtung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Wir tragen die wichtigsten Kenngrößen der beiden Schwingungen in die Skizze ein: Amplitude Amp und Periodendauer T.
Zudem kennen wir den Zusammenhang zwischen T und f, der indirekt proportional ist:
\(\eqalign{ & f = \frac{1}{T} \cr & f \uparrow \to T \downarrow \cr} \)
- Aussage 1: Richtig, weil die Amplitude von f mit 1 und die Amplitude von g mit 3 aus der Skizze abgelesen werden kann
- Aussage 2: Falsch, man müsste sie verdoppeln, wie man aus den jeweiligen „Nulldurchgängen“ bzw. der doppelt so langen Periodendauer von f im Vergleich zu jener von g erkennen kann.
- Aussage 3: Richtig, weil die Kreisfrequenz 360° bzw \(2\pi\) beträgt.
- Aussage 4: Richtig, weil g doppelt so viele „Nulldurchgänge“ wie f hat bzw. weil die Periodendauer T von g halb so groß ist, wie die von f
- Aussage 5: Falsch, weil eine Veränderung des Parameters a eine Veränderung der Amplitudenhöhe bewirkt, die Schwingung „verschiebt“ sich dadurch aber nicht in irgend eine Richtung.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle 3 richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.