Aufgabe 11254
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhöhe
Die Höhe eines bestimmten Baumes kann in den ersten 15 Jahren nach dem Einpflanzen durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. Dieser Baum hat 10 Jahre nach dem Einpflanzen eine Höhe von 2,2 m und 15 Jahre nach dem Einpflanzen eine Höhe von 2,7 m.
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Höhe dieses Baumes zum Zeitpunkt des Einpflanzens.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Wir schreiben die allgemeine Form einer exponentiellen Wachstumsfunktion mit Anfangswert c an und bestimmen in Anschluss die beiden Unbekannten mit Hilfe der Baumhöhen nach 10 bzw. 15 Jahren, die wir in der Angabe finden wir folgt:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = c \cdot {a^t} \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: }}f\left( {t = 10} \right) = c \cdot {a^{10}} = 2,2 \to c = \dfrac{{2,2}}{{{a^{10}}}} \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}f\left( {t = 15} \right) = c \cdot {a^{15}} = 2,7 \to \dfrac{{2,2}}{{{a^{10}}}} \cdot {a^{15}} = 2,7 \cr & \cr & 2,2 \cdot {a^5} = 2,7\,\,\,\,\,\left| {:2,2} \right. \cr & {a^5} = \dfrac{{2,7}}{{2,2}} \to a = \root 5 \of {\dfrac{{2,7}}{{2,2}}} = {\left( {\dfrac{{2,7}}{{2,2}}} \right)^{\dfrac{1}{5}}} \cr & \cr & c = \dfrac{{2,2}}{{{a^{10}}}} = \dfrac{{2,2}}{{{{\left[ {{{\left( {\dfrac{{2,7}}{{2,2}}} \right)}^{\dfrac{1}{5}}}} \right]}^{10}}}} = \dfrac{{2,2}}{{{{\left( {\dfrac{{2,7}}{{2,2}}} \right)}^{\dfrac{{10}}{5}}}}} = \dfrac{{2,2}}{{{{\left( {\dfrac{{2,7}}{{2,2}}} \right)}^2}}} \approx 1,4606 \cr} \)
→ Der Anfangswert c und zugleich die Höhe zum Zeitpunkt des Einpflanzens betrug ca. 1,46m
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Baum war zum Zeitpunkt des Einpflanzens rund 1,5 m hoch.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Hohe.