Aufgabe 1104
AHS - 1_104 & Lehrstoff: FA 5.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialgleichung
Gegeben ist der Funktionswert \(\sqrt[3]{4}\) der Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {2^x}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die rationale Zahl x so, dass sie die Gleichung \({2^x} = \sqrt[3]{4}\) erfüllt!
Lösungsweg
Wir können die Angabe wie folgt anschreiben:
\({2^x} = \root 3 \of 4 \)
1. Lösungsmöglichkeit: Wir formen die rechte Seite der Gleichung wie folgt um:
\(\sqrt[3]{4} = {4^{\frac{1}{3}}} = 2 \cdot {2^{\frac{1}{3}}} = {2^{2 \cdot \frac{1}{3}}} = {2^{\frac{2}{3}}}\)
und setzen in die gegebene Gleichung ein:
\({2^x} = {2^{\frac{2}{3}}}\)
womit wir x sofort ablesen können:
\(x = \dfrac{2}{3}\)
2. Lösungsmöglichkeit ( sie ist wesentlich allgemeiner):
\(\eqalign{ & {2^x} = \root 3 \of 4 \,\,\,\,\,\left| {\log } \right. \cr & x = {}^2\log \left( {\root 3 \of 4 } \right) = \frac{{\ln \left( {\root 3 \of 4 } \right)}}{{\ln 2}} = \dfrac{2}{3} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(x = \dfrac{2}{3}\)
Lösungsschlüssel:
Beim richtigen Wert von x ist die Angabe eines Lösungsweges nicht erforderlich.