Aufgabe 1871
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über bestimmte Integrale
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f im Intervall [0; 6] dargestellt.
Unten stehend sind einige Aussagen über bestimmte Integrale der Funktion f gegeben.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_0^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 2: \(\int\limits_3^4 {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_4^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 4: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\)
- Aussage 5: \(\int\limits_4^6 {f\left( x \right)} \,\,dx > 0\)
Lösungsweg
Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.
- Aussage 1: Richtig, weil die Fläche über dem Intervall [0;4] positiv zu zählen ist, während die Fläche über dem Intervall [4;5] negativ zu zählen ist. Daher muss die rechte Seite der Ungleichung kleiner sein als die linke Seite
- Aussage 2: Richtig, weil die Fläche über dem Intervall [4;4] positiv zu zählen ist, während die Fläche über dem Intervall [4;5] negativ zu zählen ist und somit kleiner ist.
- Aussage 3: Falsch, weil die Fläche über dem Intervall [0;4] positiv zu zählen ist, während die Fläche über dem Intervall [4;6] negativ zu zählen ist. Daher muss die rechte Seite der Ungleichung größer sein als die linke Seite
- Aussage 4: Falsch, weil die Fläche über dem Intervall [0;4] eine positiv zu zählende Fläche ist und sicher größer als Null ist.
- Aussage 5: Falsch, weil die Fläche über dem Intervall [4;6] eine negativ zu zählende Fläche ist und sicher kleiner als Null ist.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- 1. Aussage: Richtig
- 2. Aussage: Richtig
- 3. Aussage: Falsch
- 4. Aussage: Falsch
- 5. Aussage: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.