Aufgabe 1867
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzengleichung
Gegeben ist für n ∈ ℕ die Differenzengleichung \({x_{n + 1}} = 1,2 \cdot {x_n} - 2\) mit dem Startwert x0 ∈ ℝ.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von x0 eine Formel zur Berechnung von x2 auf.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Bildungsvorschrift für eine Zahlenfolge. Mit Hilfe der Differenzengleichung kann man aus der n-ten Zahl xn der Folge die darauffolgende n+1 Zahl xn+1 der Folge ermitteln. X0 ist der Startwert der Folge. N muss eine natürliche Zahl (1,2,3…) sein
\({x_{n + 1}} = 1,2 \cdot {x_n} - 2\)
Dieses Differenzengleichung bedeutet, dass man den n+1 Wert der Folge berechnet, indem man den n-ten Wert der Folge mit 1,2 multipliziert und davon 2 subtrahiert.
\(\eqalign{ & {\text{n = 0: }}{x_0} \cr & {\text{n = 1: }}{x_1} = 1,2 \cdot {x_0} - 2 \cr & {\text{n = 2: }}{x_2} = 1,2 \cdot {x_1} - 2 = 1,2 \cdot \left( {1,2 \cdot {x_0} - 2} \right) - 2 \cr & \cr & {x_2} = 1,44 \cdot {x_0} - 4,4 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_2} = 1,44 \cdot {x_0} - 4,4\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.