Aufgabe 1794
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzenquotient und Differenzialquotient
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
- Aussage 1: Im Intervall (0; 2) gibt es eine Stelle a, sodass gilt:
\(\dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}} = f'\left( 0 \right)\)
- Aussage 2: Im Intervall (4; 6) gibt es eine Stelle a, sodass gilt:
\(\dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}} = f'\left( 0 \right)\)
- Aussage 3: Für alle a ∈ (0; 1) gilt: Je kleiner a ist, desto weniger unterscheidet sich
\(\dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}}{\text{ von }}f'\left( 0 \right)\)
- Aussage 4: Für alle a ∈ (2; 5) gilt: Je größer a ist, desto weniger unterscheidet sich
\(\dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}}{\text{ von }}f'\left( 0 \right)\)
- Aussage 5: Für alle a ∈ (2; 3) gilt:
\(\dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}} > f'\left( 0 \right)\)[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die 5 Aussagen die es zu bewerten gilt, haben gemeinsam, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Differenzenquotient und auf der rechten Seite der Gleichung immer der Differentialquotient an der Stelle Null steht.
- Der Differenzenquotient \(\dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}}\) entspricht der Sekante zwischen den Funktionswerten f(a) und f(0).
- Differentialquotient an der Stelle Null f‘(0) entspricht der Steigung der Tangente an die Funktion f(x) an der Stelle x=0. Diese Tangente können wir in die Grafik eintragen:
Nun überprüfen wir die 5 Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Falsch, weil die Funktion im Intervall 0; 2) linksgekrümmt ist, kann es keine Sekante geben, welche die gleiche Steigung hat wie die Tangente an der Stelle x=0
- Aussage 2: Falsch, weil im Intervall (4; 6) alle möglichen Funktionswerte f(a) höher liegen als f(x=0) und es somit keine Sekante geben kann, welche die gleiche Steigung hat wie die Tangente an der Stelle x=0
- Aussage 3: Richtig, weil je kleiner a wird und sich daher f(x=0) annähert umso weniger unterscheiden sich Differenzenquotient und Differentialquotient.
\(\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \dfrac{{f\left( a \right) - f\left( 0 \right)}}{{a - 0}} = f'\left( 0 \right)\)
- Aussage 4: Falsch, weil je größer a wird umso höher liegt der 2. Punkt der Sekante und umso positiver wird die Steigung der Sekante. (Die Steigung der Tangente ist ja negativ)
- Aussage 5: Richtig, weil je größer a wird umso höher liegt der 2. Punkt der Sekante und umso positiver wird die Steigung der Sekante. (Die Steigung der Tangente ist ja negativ)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.