Aufgabe 1751
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmte Integrale
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion f mit den Nullstellen \({x_1} = - 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 0;\,\,\,\,\,{x_3} = 2;\,\,\,\,\,{x_4} = 4\) dargestellt. Für die mit A1, A2 und A3 gekennzeichneten Flächeninhalte gilt: A1 = 0,4; A2 = 1,5 und A3 = 3,2.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die wahre Aussagen sind. [0 / 1 Punkt]
- Aussage 1: \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,9\)
- Aussage 2: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,7\)
- Aussage 3: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 5,1\)
- Aussage 4: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,5\)
- Aussage 5: \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 3,2\)
Lösungsweg
Ist in einem betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet und geht mit einem negativen Vorzeichen in die Summe von Teilflächen ein
- Aussage 1: Falsch, weil \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,9 \ne {A_1} - {A_2} = 0,4 - 1,5 = - 1,1\)
- Aussage 2: Richtig, weil \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,7 = - {A_2} + {A_3} = - 1,5 + 3,2 = 1,7\)
- Aussage 3: Falsch, weil \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 5,1 \ne {A_1} - {A_2} + {A_3} = 0,4 - 1,5 + 3,2 = 2,1\)
- Aussage 4: Falsch, weil \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,5 \ne A2 = - 1,5\)
- Aussage 5: Richtig, weil \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 3,2 = {A_3} = 3,2\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Gleichungen angekreuzt sind.