Aufgabe 1699
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kapitalwachstum
Ein Kapital von € 100.000 wird mit einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt. Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über den Verlauf des Kapitals in den ersten drei Jahren. Dabei beschreibt xn das Kapital nach n Jahren (n ∈ ℕ).
n in Jahren | xn in € |
0 | 100 000 |
1 | 103 000 |
2 | 106 090 |
3 | 109 272,7 |
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Gleichung zur Bestimmung des Kapitals xn+1 aus dem Kapital xn auf!
xn+1 = ___
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Es handelt sich um ein Beispiel aus der Zinseszinsrechnung, bei dem wir den Aufzinsungsfaktor q bestimmen sollen. Die Formel dafür lautet:
\(\begin{array}{l}
{K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\\
{q^n} = \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}
\end{array}\)
Da wir n, Kn und K0 aus der Tabelle entnehmen können, kann q wie folgt berechnet werden:
\(n = 1:q = \dfrac{{{K_{n = 1}}}}{{{K_0}}} = \dfrac{{103000}}{{100000}} = 1,03\)
Wir können auch in Form von Gliedern einer Folge anschreiben:
\({x_{n + 1}} = {x_n} \cdot 1,03\)
Nicht gefragt, aber einfach möglich:
Wir machen zur Sicherheit noch eine Probe und rechnen K3 aus K0 aus und vergleichen dann den so errechneten Wert mit der Tabelle:
\(\eqalign{
& {K_3} = {K_0} \cdot {q^3} \cr
& {K_3} = 100000 \cdot {1,03^3} = 109272,7{\text{ wzbw}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_{n + 1}} = {x_n} \cdot 1,03\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.