Aufgabe 1675
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Veränderung eines Flüssigkeitsvolumens
Das in einem Gefäß enthaltene Flüssigkeitsvolumen V ändert sich im Laufe der Zeit t im Zeitintervall [t0; t4].
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion V′, die die momentane Änderungsrate des im Gefäß enthaltenen Flüssigkeitsvolumens in diesem Zeitintervall angibt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß nimmt im Zeitintervall [t1; t3] ab.
- Aussage 2: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t2 kleiner als zum Zeitpunkt t3.
- Aussage 3: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß weist zum Zeitpunkt t3 die niedrigste momentane Änderungsrate auf.
- Aussage 4: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t4 am größten.
- Aussage 5: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zu den Zeitpunkten t2 und t4 gleich groß.
Lösungsweg
Bei diesem Beispiel sollen wir Aussagen zum Volumen einer Flüssigkeit in einem Gefäß machen. Die Grafik zeigt aber nicht das Volumen selbst, sondern dessen 1. Ableitung, nämlich die momentane Änderungsrate des Flüssigkeitsvolumens.
Wir können folgendes sagen: Der Graph v‘ liegt im gesamten Zeitintervall oberhalb von der x-Achse. Dh es fließt zu jedem Zeitpunkt Flüssigkeit zu, es fließt nie Flüssigkeit ab. Im Intervall [t0; t1] und im Intervall [t3; t4] fließt immer schneller Flüssigkeit zu. Im Intervall [t1; t3] fließt immer weniger Flüssigkeit zu, aber auch hier fließt Flüssigkeit zu.
- Aussage 1: Falsch, weil im gesamten Intervall [t0; t4] Flüssigkeit zuläuft, nimmt das Volumen durchgehend zu und nie ab
- Aussage 2: Richtig, weil bis zum Zeitpunkt t3 mehr Zeit vergangen ist, als bis zum Zeitpunkt t2 und da ständig Flüssigkeit zuläuft, muss zum späteren Zeitpunkt mehr Flüssigkeit im Gefäß sein, als zum früheren Zeitpunkt
- Aussage 3: Falsch, weil zum Zeitpunkt t0 die momentane Änderungsrate für das gesamte Intervall [t0; t4] am niedrigsten ist
- Aussage 4: Richtig, weil bis zum Zeitpunkt t4 maximal viel Zeit im Beobachtungsintervall [t0; t4] vergangen ist, und daher maximal viel Flüssigkeit im Gefäß sein muss
- Aussage 5: Falsch, weil t2 zeitlich vor t4 liegt und daher bis zum Zeitpunkt t4 noch zusätzliche Flüssigkeit zufließt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.