Aufgabe 1628
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kredittilgung
Jemand hat bei einer Bank einen Wohnbaukredit zur Finanzierung einer Eigentumswohnung aufgenommen. Am Ende eines jeden Monats erhöht sich der Schuldenstand aufgrund der Kreditzinsen um 0,4 % und anschließend wird die monatliche Rate von € 450 zurückgezahlt. Der Schuldenstand am Ende von t Monaten wird durch S(t) beschrieben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Differenzengleichung an, mit deren Hilfe man bei Kenntnis des Schuldenstands am Ende eines Monats den Schuldenstand am Ende des darauffolgenden Monats berechnen kann!
Lösungsweg
- Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
- Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b\)
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b \cdot {x_{n - 2}}\)
Für die gegebene Aufgabenstellung bietet sich für die Lösungsfindung eine sogenannte Rekursionsgleichung an. Derartige Gleichungen stellen einen Zusammenhang zwischen 2 aufeinander folgender Glieder einer Folge her. Wir formulieren die Lösung wir folgt:
- Der Wert am Ende jedes Monats St+1 ergibt sich aus dem Wert im Monat davor St der mit den Zinsen (0,4% entsprechend *1,004) hochgerechnet wird und von dem dann anschließend 450 € abgezogen werden.
- \({S_{t + 1}} = {S_t} \cdot 1,004 - 450\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({S_{t + 1}} = {S_t} \cdot 1,004 - 450\)
das ist gleichwertig zur offiziellen Lösung:
\({S_{t + 1}} - {S_t} = {S_t} \cdot 0,004 - 450\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Differenzengleichung. Andere korrekte Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.