Aufgabe 1605
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wendestelle
Eine Polynomfunktion dritten Grades f hat die Ableitungsfunktion f′ mit \(f'\left( x \right) = 12 \cdot {x^2} - 4 \cdot x - 8\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob die Funktion f an der Stelle x = 6 eine Wendestelle hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Lösungsweg
Damit eine Funktion an der Stelle x0 eine Wendestelle hat, muss wie folgt gelten:
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)
Damit wir die Fragestellung beantworten können, müssen wir die gegebene Funktion, die bereits die 1. Ableitung darstellt, noch 2 mal differenzieren. Danach bestimmen wir
- die Nullstelle der 2. Ableitung und prüfen ob
- die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist.
Wir überprüfen die Einhaltung der 1. Bedingung: Achtung, es ist bereits die 1. Ableitung gegeben!
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 12 \cdot {x^2} - 4 \cdot x - 8\\ f''\left( x \right) = 12 \cdot 2 \cdot {x^{2 - 1}} - 4 = 24x - 4\\ f''\left( {x = 6} \right) = 24 \cdot 6 - 4 = 144 - 4 = 140 \ne 0 \end{array}\)
Die 1. geforderte Bedingung (nämlich dass die 2. Ableitung an der Stelle x=6 Null sein muss) ist nicht erfüllt. Wir müssen daher die 2. geforderte Bedingung ,betreffend der 3. Ableitung, nicht mehr überprüfen. Die Antwort ist schon klar: Nein, an der Stelle x=6 kann die Funktion f(x) keine Wendestelle haben.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Nein, an der Stelle x=6 kann die Funktion f(x) keine Wendestelle haben, da \(f''\left( {x = 6} \right) \ne 0\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe, dass die Funktion f an der Stelle x = 6 keine Wendestelle hat, und eine korrekte Begründung.