Aufgabe 1551
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzengleichung
Die nachstehende Tabelle enthalt Werte einer Größe zum Zeitpunkt n (n ∈ ℕ).
n | xn |
0 | 10 |
1 | 21 |
2 | 43 |
3 | 87 |
Die zeitliche Entwicklung dieser Größe kann durch eine Differenzengleichung der Form \({x_{n + 1}} = a \cdot {x_n} + b\) beschrieben werden.
Aufgabenstellung
Geben Sie die Werte der (reellen) Parameter a und b so an, dass damit das in der Tabelle angegebene zeitliche Verhalten beschrieben wird!
- a =
- b =
Lösungsweg
Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b\)
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b \cdot {x_{n - 2}}\)
Die gegebene Tabelle können wir in Form von 4 Rekursionsgleichungen wie folgt anschreiben und daraus a und b ausrechnen.
- In der 1. Gleichung kommt weder a noch b vor. Sie definiert lediglich den Startwert x0 = 10
- Die 2. und die 3. Gleichung nützen wir, um die beiden Variablen a und b zu bestimmen.
- Die 4 Gleichung macht das Gleichungssystem "überbestimmt". Wir können daher die 4. Gleichung für eine Probe nützen.
\(\begin{array}{l} {x_0} = 10\\ {x_1} = a \cdot {x_0} + b = a \cdot 10 + b = 21\\ {x_2} = a \cdot {x_1} + b = a \cdot 21 + b = 43\\ {x_3} = a \cdot {x_2} + b = a \cdot 43 + b = 87\\ \\ {x_1} \to a \cdot 10 + b = 21 \to b = 21 - 10 \cdot a\\ {x_2} \to a \cdot 21 + b = 87 \to 21 \cdot a + \left( {21 - 10 \cdot a} \right) = 43\\ 21 \cdot a + 21 - 10 \cdot a = 43\\ 11 \cdot a + 21 = 43\\ 11 \cdot a = 43 - 21 = 22\\ 11 \cdot a = 22\\ a = \dfrac{{22}}{{11}} = 2\\ \\ b = 21 - 10 \cdot a\\ b = 21 - 10 \cdot 2 = 21 - 20 = 1\\ \\ {\rm{Probe:}}\\ {x_3}:a \cdot 43 + b = 87 \to 2 \cdot 43 + 1 = 87\,\,\,wzbw. \end{array}\)
Ergebnis
a = 2
b = 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der richtigen Werte von a und b.