Aufgabe 1528
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderungsraten einer Polynomfunktion
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f.
- Aussage 1: Der Differenzialquotient an der Stelle x= 6 ist größer als der Differenzialquotient an der Stelle x= –3.
- Aussage 2: Der Differenzialquotient an der Stelle x= 1 ist negativ.
- Aussage 3: Der Differenzenquotient im Intervall [–3; 0] ist 1.
- Aussage 4: Die mittlere Änderungsrate ist in keinem Intervall gleich 0.
- Aussage:5: Der Differenzenquotient im Intervall [3; 6] ist positiv.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Zur Überprüfung der Aussagen werden die Begriffe Differenzialquotient und mittlere Änderungsrate bzw. Differenzenquotient benötigt:
- Die Funktion \(g({x_0},{x_1})\) heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate im Intervall \([{x_0};{x_1}]\): \(g({x_0},{x_1}): = \dfrac{{f({x_1}) - f({x_0})}}{{{x_1} - {x_0}}}\)
- Die Funktion \(f'({x_0})\) heißt Differenzialquotient oder Ableitung von f an der Stelle x. Sie beschreibt die Steigung im betrachteten Punkt: \(f'({x_0}): = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g({x_0},x)\)
Wir müssen nun lediglich die gewünschten Werte aus dem gegebenen Diagramm ablesen und einsetzen. Anmerkung: Um den Differenzialquotienten abzulesen, empfiehlt es sich die Tangente im jeweiligen Punkt einzuzeichnen.
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil wir anhand der eingezeichneten Tangenten oder mit freiem Auge erkennen können, dass die Steigung im Punkt x= -3 größer ist als im Punkt x= 6.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil im Punkt x=1 ist die Steigung der Tangentengeraden negativ ist. Somit ist auch der Differenzialquotient negativ.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil wenn wir die Punkte \({x_0} = - 3\) und \({x_1} = 0\) in den Differentialquotienten \(g({x_0},{x_1}): = \dfrac{{f({x_1}) - f({x_0})}}{{{x_1} - {x_0}}}\) einsetzen, wie folgt erhalten: \(g( - 3,0) = \dfrac{{5 - 0}}{{0 - ( - 3)}} = \dfrac{5}{3} \ne 1\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil wir ein Intervall finden können, in dem die mittlere Änderungsrate gleich 0 ist: Im Intervall [-3; 3] gilt: \(g( - 3,3) = \dfrac{{f(3) - f( - 3)}}{{3 - ( - 3)}} = \dfrac{{0 - 0}}{6} = 0\) Das heißt die mittlere Änderungsrate ist in diesem Intervall gleich 0.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil \(g(3,6) = \dfrac{{f(6) - 0}}{{6 - 3}} = \dfrac{{f(6)}}{3} > 0\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.