Aufgabe 1526
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften der zweiten Ableitung
Gegeben sind die Graphen von fünf reellen Funktionen.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
Aufgabenstellung:
Für welche der angegebenen Funktionen gilt f‘‘(x)>0 im Intervall [–1; 1]?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Graphen an!
Lösungsweg
Ist \(f''\left( x \right) > 0\) so ist die Funktion strikt konvex bzw. linksgekrümmt, dh die Steigung nimmt in diesem Intervall ständig zu. Wir müssen nun lediglich überprüfen, ob das auf die Funktionen in den Graphen auf dem Intervall [-1;1] zutrifft oder eben nicht.
- Graph 1: Dieser Graph ist im Intervall [–1; 1] nicht links gekrümmt, da die Funktion f im Intervall [-1;0) rechtsgekrümmt ist. Also \(f''\left( x \right) < 0\) für alle \(x \in [ - 1;0)\). Die Funktion hat überdies im Punkt (0,0) einen Wendepunkt \(f''\left( x \right) = 0\)
- Graph 2: Dieser Graph ist im Intervall [–1; 1] links gekrümmt, da die Steigung in jedem Punkt zu nimmt. \(f''\left( x \right) > 0\) für alle \(x \in [ - 1;1]\)
- Graph 3: Dieser Graph ist im Intervall [–1; 1] nicht links gekrümmt, da die Funktion f im Intervall [-1;1] rechtsgekrümmt ist. die Steigung der Funktion f nimmt in jedem Punkt ab. \(f''\left( x \right) \leqslant 0\) für alle \(x \in [ - 1;1]\)
- Graph 4: Dieser Graph ist im Intervall [–1; 1] nicht links gekrümmt, da \(f''\left( x \right) = 0\) für alle \(x \in [ - 1;1]\)
- Graph 5: Dieser Graph ist im Intervall [–1; 1] links gekrümmt, da die Steigung in jedem Punkt zu nimmt. \(f''\left( x \right) > 0\) für alle \(x \in [ - 1;1]\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph 1: ist nicht links gekrümmt
- Graph 2: ist links gekrümmt
- Graph 3: ist nicht links gekrümmt
- Graph 4: ist nicht links gekrümmt
- Graph 5: ist links gekrümmt
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Graphen angekreuzt sind.