Aufgabe 1480
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kapitalsparbuch
Frau Fröhlich hat ein Kapitalsparbuch, auf welches sie jährlich am ersten Banköffnungstag des Jahres den gleichen Geldbetrag in Euro einzahlt. An diesem Tag werden in dieser Bank auch die Zinsertrage des Vorjahres gutgeschrieben. Danach wird der neue Gesamtkontostand ausgedruckt. Zwischen dem Kontostand \({K_{i - 1}}\) des Vorjahres und dem Kontostand \({K_i}\) des aktuellen Jahres besteht folgender Zusammenhang: \({K_i} = 1,03 \cdot {K_{i - 1}} + 5000\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen sind in diesem Zusammenhang korrekt? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Frau Fröhlich zahlt jährlich € 5.000 auf ihr Kapitalsparbuch ein.
- Aussage 2: Das Kapital auf dem Kapitalsparbuch wachst jährlich um € 5.000.
- Aussage 3: Der relative jährliche Zuwachs des am Ausdruck ausgewiesenen Kapitals ist größer als 3 %.
- Aussage 4: Die Differenz des Kapitals zweier aufeinanderfolgender Jahre ist immer dieselbe.
- Aussage:5: Das Kapital auf dem Kapitalsparbuch wachst linear an.
Lösungsweg
Zur Beantwortung nicht unbedingt erforderlich, aber veranschaulichen wir uns den Verkauf des Kapitals während der ersten 3 Jahre wie folgt:
\(\eqalign{ & {K_i} = 1,03 \cdot {K_{i - 1}} + 5000 \cr & i = 0:\,\,\,\,\,{K_0} = 1,03 \cdot 0 + 5000 = 5000{\text{ Euro}} \cr & i = 1:\,\,\,\,\,{K_1} = 1,03 \cdot 5000 + 5000 = 10.150{\text{ Euro}} \cr & i = 2:\,\,\,\,\,{K_2} = 1,03 \cdot 10150 + 5000 = 15.454,50{\text{ Euro}} \cr & i = 3:\,\,\,\,\,{K_3} = 1,03 \cdot 15454,50 + 5000 = 20.918,14{\text{ Euro}} \cr} \)
Wir sehen also: zuerst erfolgt die Aufzinsung des Kapitals vom Vorjahr um 3%, dann erhöht sich der Betrag um zusätzliche 5.000 € die Fr. Fröhlich jährlich einzahlt.
- Aussage 1: Richtig, weil Fr. Fröhlich laut Angabe jedes Jahr den gleichen Geldbetrag einzahlt und der 1. Summand der Gleichung die 3% Zinsen ausdrückt und der 2. Summand die jährliche Einzahlung, eben die 5.000 €.
- Aussage 2: Falsch, weil neben der jährlichen Einzahlung gemäß dem 2. Summanden auch noch die Zinsen gemäß dem 1. Summanden das Kapital wachsen lassen.
- Aussage 3: Richtig, weil jährlich die 3% Zinsen plus die fixen 5.000 € Einzahlung dazu kommen.
- Aussage 4: Falsch, weil zwar jährlich die fixen 5.000 € Einzahlung aber zusätzlich die 3% Zinsen dazu kommen. Diese 3% machen jedes Jahr einen höheren Betrag aus als im Vorjahr, da ja jährlich mehr Kapital am Sparbuch liegt und verzinst wird.
- Aussage 5: Falsch, weil auf Grund der Verzinsung der Zinsen ("Zinseszins") das Wachstum exponentiell ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.