Aufgabe 1407
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kredit
Ein langfristiger Kredit soll mit folgenden Bedingungen getilgt werden: Der offene Betrag wird am Ende eines jeden Jahres mit 5 % verzinst, danach wird jeweils eine Jahresrate von € 20.000 zurückgezahlt.
Aufgabenstellung:
y2 stellt die Restschuld nach Bezahlung der zweiten Rate zwei Jahre nach Kreditaufnahme dar,
y3 die Restschuld nach Bezahlung der dritten Rate ein Jahr später.
Stellen Sie y3 in Abhängigkeit von y2 dar!
y3 = ___
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
- Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b\)
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b \cdot {x_{n - 2}}\)
Lösungsweg
Für die gegebene Aufgabenstellung bietet sich für die Lösungsfindung eine sogenannte Rekursionsgleichung an. Derartige Gleichungen stellen einen Zusammenhang zwischen 2 aufeinander folgende Glieder einer Folge her. Wir formulieren die Lösung wir folgt:
- Der Wert im Jahr 3 ergibt sich aus dem Wert im Jahr 2 der mit den Zinsen (5% entsprechend *1,05) hochgerechnet wird und von dem dann anschließend 20.000 € abgezogen werden
- \(\begin{array}{l} {y_3} = {y_2} \cdot 1,05 - 20\,000\\ {y_3} = 1,05 \cdot {y_2} - 20\,000 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({y_3} = 1,05 \cdot {y_2} - 20\,000\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.