Aufgabe 1380
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer punktsymmetrischen Funktion f (das bedeutet: f(–x) = –f(x) dargestellt. Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [0; 3] ist rot unterlegt. Ihre Maßzahl beträgt 6,75.
- Aussage 1: \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 6,75\)
- Aussage 2: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 13,5\)
- Aussage 3: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = - 13,5\)
- Aussage 4: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\)
- Aussage 5: \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)} \,\,dx = 6,75\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Zur Bewertung der 5 Aussagen müssen wir 2 Flächen in Betracht ziehen. Auf Grund der Tatsache, dass f(–x) = –f(x) gilt, sind die beiden Flächen zwar flächengleich, sind aber entgegengesetzt orientiert. Das Integral über die linke Fläche ist negativ!
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil die Integrationsgrenzen 0 und 3 den Intervallgrenzen [0; 3] entsprechen und weil die Fläche positiv orientiert ist, da sie über der x-Achse liegt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil sich die linke negativ orientierte und die flächengleiche rechte aber positiv orientierte Flächen aufheben. Das Integral ist also null.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil sich die linke negativ orientierte und die flächengleiche rechte aber positiv orientierte Flächen aufheben. Das Integral ist also null.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil sich die linke negativ orientierte und die flächengleiche rechte aber positiv orientierte Flächen aufheben.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil die linke Fläche negativ orientiert ist und das Integral daher negativ und nicht positiv ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.