Aufgabe 1357
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Extremstelle
Die Ermittlung lokaler Extremstellen einer Polynomfunktion f erfolgt häufig mithilfe der Differenzialrechnung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die stets zutreffend sind!
- Aussage 1: Wenn x0 eine lokale Extremstelle von f ist, dann wechselt die Funktion an der Stelle x0 das Krümmungsverhalten.
- Aussage 2: Wenn x0 eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f‘‘(x0) = 0.
- Aussage 3: Wenn die Funktion f bei x0 das Monotonieverhalten ändert, dann liegt bei x0 eine lokale Extremstelle von f.
- Aussage 4: Wenn x0 eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f‘(x0) = 0.
- Aussage 5: Wenn x0 eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f‘(x) für x < x0 immer negativ und für x > x0 immer positiv.
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
- Aussage 1: Falsch, weil sich das Krümmungsverhalten an einer Wendestelle und nicht an einer Extremstelle ändert.
- Aussage 2: Falsch, weil wir aus der NEW-Regel wissen, dass wenn x0 eine lokale Wende- und nicht Extremstelle von f ist, dann ist f‘‘(x0) = 0.
- Aussage 3: Richtig, weil wenn sich das Monotonieverhalten ändert geht eine steigende in eine fallende Funktion (oder umgekehrt) über. Somit muss es am Ort der dazwischen liegenden horizontalen Tangente eine lokale Extremstelle geben
- Aussage 4: Richtig, weil wir aus der NEW-Regel wissen, dass wenn x0 eine lokale Extremstelle ist, an dieser Stelle die 1. Ableitung eine Nullstelle haben muss.
- Aussage 5: Falsch, weil diese Aussage nur im jenem Spezialfall gilt, in dem die erste Ableitung einen monoton steigenden Verlauf hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.