Aufgabe 1335
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Nikotin
Die Nikotinmenge x (in mg) im Blut eines bestimmten Rauchers kann modellhaft durch die Differenzengleichung \({x_{n + 1}} = 0,98 \cdot {x_n} + 0,03\) (n in Tagen) beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie viel Milligramm Nikotin täglich zugeführt werden und wie viel Prozent der im Körper vorhandenen Nikotinmenge täglich abgebaut werden!
–––––––––––––– mg
–––––––––––––– %
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
- Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
- Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b\)
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b \cdot {x_{n - 2}}\)
Bei der gegebenen Gleichung \({x_{n + 1}} = 0,98 \cdot {x_n} + 0,03\) handelt es sich um eine sogenannte Differenzengleichung. Wir können Sie wie folgt "lesen":
Die Nikotinmenge x (in mg) im Blut eines bestimmten Rauchers am Tag "n+1" ist gleich der 98% der Menge vom Tag "n" - also vom Vortag - plus einer (täglichen) Erhöhung um 0,03 mg.
- Es werden also täglich 0,03 mg zugeführt
- Da 98% Nikotin vom Vortag xn am darauf folgenden Tag xn+1 noch vorhanden sind, wurden 100% - 98% = 2% während eines Tages abgebaut
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- tägliche Zufuhr = 0,03 mg
- täglich abgebaut werden: 2%
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe der beiden Zahlenwerte.