Aufgabe 1310
AHS - 1_310 & Lehrstoff: AN 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkstoff
Eine Person beginnt mit der Einnahme eines Medikaments und wiederholt die Einnahme alle 24 Stunden. Sie führt dem Körper dabei jeweils 125 μg eines Wirkstoffs zu. Innerhalb eines Tages werden jeweils 70 % der im Körper vorhandenen Menge des Wirkstoffs abgebaut.
- Aussage 1: \({x_{n + 1}} = \left( {{x_n} + 125} \right) \cdot 0,3\)
- Aussage 2: \({x_{n + 1}} = 0,3 \cdot {x_n} + 125\)
- Aussage 3: \({x_{n + 1}} = 1,3 \cdot {x_n} - 125\)
- Aussage 4: \({x_{n + 1}} = {x_n} + 125 \cdot 0,7\)
- Aussage 5: \({x_{n + 1}} = \left( {{x_n} - 125} \right) \cdot 0,7\)
- Aussage 6: \({x_{n + 1}} = \left( {{x_n} - 0,3} \right) \cdot 125\)
Aufgabenstellung:
Die Wirkstoffmenge xn (in μg) gibt die vorhandene Menge des Wirkstoffs im Körper dieser Person nach n Tagen unmittelbar nach Einnahme des Wirkstoffs an und kann modellhaft durch eine Differenzengleichung beschrieben werden. Kreuzen Sie die entsprechende Gleichung an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
- Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b\)
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b \cdot {x_{n - 2}}\)
Lösungsweg
Wir stellen folgende Überlegung an:
- Am Tag 0 wird eine Dosis von 125 μg dem Körper zugeführt
- 70% werden im Laufe des Tages abgebaut ⇒ 30% sind noch vorhanden
- Am Tag 1 sind von obiger Dosis noch 30% vorhanden und es werden erneut 125 μg dem Körper zugeführt
- 70% werden im Laufe des Tages abgebaut ⇒ 30% sind noch vorhanden
- usw.
Wir schreigen diese Zusammenhänge in Form einer Rekursionsgleichung wie folgt an:
- \({x_0} = 125\)
- \({x_1} = {x_0} \cdot 0,3 + 125\)
- \({x_2} = {x_1} \cdot 0,3 + 125\)
oder allgemein formuliert:
- \({x_{n + 1}} = {x_n} \cdot 0,3 + 125\)
Damit können wir die 6 Aussagen wie folgt bewerten:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil sie nicht der von uns hergeleiteten Rekursionsgleichung entspricht
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig weil \({x_{n + 1}} = 0,3 \cdot {x_n} + 125 \overset{\wedge}\to{=} {x_n} \cdot 0,3 + 125\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil sie nicht der von uns hergeleiteten Rekursionsgleichung entspricht
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil sie nicht der von uns hergeleiteten Rekursionsgleichung entspricht
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil sie nicht der von uns hergeleiteten Rekursionsgleichung entspricht
- Aussage 6: Diese Aussage ist falsch, weil sie nicht der von uns hergeleiteten Rekursionsgleichung entspricht
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.